Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17771 / 24099
↖ ↑ ↗
← S 64.335150°
E 15.238037°		 ← 529.10 m → S 64.335150°
E 15.249024°		 →
↑
529.05 m
↓
↑
529.05 m
↓
S 64.339908°
E 15.238037°		 ← 529.01 m →
279 895 m²		 S 64.339908°
E 15.249024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542343139648438 y=0.735458374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542343139648438 × 215)
    floor (0.542343139648438 × 32768)
    floor (17771.5)     		tx = 17771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735458374023438 × 215)
    floor (0.735458374023438 × 32768)
    floor (24099.5)     		ty = 24099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17771 / 24099 ti = "15/17771/24099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17771/24099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17771 ÷ 215
    17771 ÷ 32768     		x = 0.542327880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24099 ÷ 215
    24099 ÷ 32768     		y = 0.735443115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542327880859375 × 2 - 1) × π
    0.08465576171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26595392
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735443115234375 × 2 - 1) × π
    -0.47088623046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47933272227493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26595392} λ = 0.26595392}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47933272227493))-π/2
    2×atan(0.22778963663286)-π/2
    2×0.223968067084431-π/2
    0.447936134168862-1.57079632675     		φ = -1.12286019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26595392} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.238037°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12286019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.335150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17771 KachelY 24099 0.26595392 -1.12286019 15.238037 -64.335150
    Oben rechts KachelX + 1 17772 KachelY 24099 0.26614567 -1.12286019 15.249024 -64.335150
    Unten links KachelX 17771 KachelY + 1 24100 0.26595392 -1.12294323 15.238037 -64.339908
    Unten rechts KachelX + 1 17772 KachelY + 1 24100 0.26614567 -1.12294323 15.249024 -64.339908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12286019--1.12294323) × R
    8.30400000000342e-05 × 6371000     		dl = 529.047840000218m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12286019--1.12294323) × R
    8.30400000000342e-05 × 6371000     		dr = 529.047840000218m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26595392-0.26614567) × cos(-1.12286019) × R
    0.000191749999999991 × 0.43310620941353 × 6371000     		do = 529.099544838261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26595392-0.26614567) × cos(-1.12294323) × R
    0.000191749999999991 × 0.433031360406481 × 6371000     		du = 529.008106353427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12286019)-sin(-1.12294323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43310620941353-0.433031360406481)×R²
    abs(0.26614567-0.26595392)×7.4849007049238e-05×R²
    0.000191749999999991×7.4849007049238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.4849007049238e-05×40589641000000     		ar = 279894.783835952m²