Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17770 / 52190
↖ ↑ ↗
← S 72.339132°
W 82.386475°		 ← 185.30 m → S 72.339132°
W 82.380982°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
S 72.340798°
W 82.386475°		 ← 185.29 m →
34 329 m²		 S 72.340798°
W 82.380982°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17770 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 52190 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271156311035156 y=0.796363830566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271156311035156 × 216)
    floor (0.271156311035156 × 65536)
    floor (17770.5)     		tx = 17770
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.796363830566406 × 216)
    floor (0.796363830566406 × 65536)
    floor (52190.5)     		ty = 52190
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17770 / 52190 ti = "16/17770/52190"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17770/52190.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17770 ÷ 216
    17770 ÷ 65536     		x = 0.271148681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 52190 ÷ 216
    52190 ÷ 65536     		y = 0.796356201171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.271148681640625 × 2 - 1) × π
    -0.45770263671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.43791524
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.796356201171875 × 2 - 1) × π
    -0.59271240234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.86206092884146
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43791524} λ = -1.43791524}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.86206092884146))-π/2
    2×atan(0.155352130531366)-π/2
    2×0.154120150855608-π/2
    0.308240301711217-1.57079632675     		φ = -1.26255603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43791524} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.386475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.26255603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -72.339132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17770 KachelY 52190 -1.43791524 -1.26255603 -82.386475 -72.339132
    Oben rechts KachelX + 1 17771 KachelY 52190 -1.43781937 -1.26255603 -82.380982 -72.339132
    Unten links KachelX 17770 KachelY + 1 52191 -1.43791524 -1.26258511 -82.386475 -72.340798
    Unten rechts KachelX + 1 17771 KachelY + 1 52191 -1.43781937 -1.26258511 -82.380982 -72.340798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.26255603--1.26258511) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dl = 185.268680000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.26255603--1.26258511) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dr = 185.268680000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43791524--1.43781937) × cos(-1.26255603) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303382340557711 × 6371000     		do = 185.302223246621m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43791524--1.43781937) × cos(-1.26258511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.303354631001599 × 6371000     		du = 185.285298588635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.26255603)-sin(-1.26258511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.303382340557711-0.303354631001599)×R²
    abs(-1.43781937--1.43791524)×2.77095561118101e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.77095561118101e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.77095561118101e-05×40589641000000     		ar = 34329.1304997394m²