Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17768 / 18989
↖ ↑ ↗
← S 27.498527°
E 15.205078°		 ← 1 083.57 m → S 27.498527°
E 15.216064°		 →
↑
1 083.58 m
↓
↑
1 083.58 m
↓
S 27.508272°
E 15.205078°		 ← 1 083.47 m →
1 174 077 m²		 S 27.508272°
E 15.216064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17768 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.542251586914062 y=0.579513549804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.542251586914062 × 215)
    floor (0.542251586914062 × 32768)
    floor (17768.5)     		tx = 17768
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.579513549804688 × 215)
    floor (0.579513549804688 × 32768)
    floor (18989.5)     		ty = 18989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17768 / 18989 ti = "15/17768/18989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17768/18989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17768 ÷ 215
    17768 ÷ 32768     		x = 0.542236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18989 ÷ 215
    18989 ÷ 32768     		y = 0.579498291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.542236328125 × 2 - 1) × π
    0.08447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.26537868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.579498291015625 × 2 - 1) × π
    -0.15899658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.499502494040985
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26537868} λ = 0.26537868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.499502494040985))-π/2
    2×atan(0.606832487404478)-π/2
    2×0.545428248023542-π/2
    1.09085649604708-1.57079632675     		φ = -0.47993983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26537868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.205078°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47993983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.498527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17768 KachelY 18989 0.26537868 -0.47993983 15.205078 -27.498527
    Oben rechts KachelX + 1 17769 KachelY 18989 0.26557042 -0.47993983 15.216064 -27.498527
    Unten links KachelX 17768 KachelY + 1 18990 0.26537868 -0.48010991 15.205078 -27.508272
    Unten rechts KachelX + 1 17769 KachelY + 1 18990 0.26557042 -0.48010991 15.216064 -27.508272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47993983--0.48010991) × R
    0.000170079999999961 × 6371000     		dl = 1083.57967999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47993983--0.48010991) × R
    0.000170079999999961 × 6371000     		dr = 1083.57967999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26537868-0.26557042) × cos(-0.47993983) × R
    0.000191739999999996 × 0.887022706426609 × 6371000     		do = 1083.56524159532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26537868-0.26557042) × cos(-0.48010991) × R
    0.000191739999999996 × 0.886944163272661 × 6371000     		du = 1083.46929519963m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47993983)-sin(-0.48010991))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887022706426609-0.886944163272661)×R²
    abs(0.26557042-0.26537868)×7.85431539477299e-05×R²
    0.000191739999999996×7.85431539477299e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.85431539477299e-05×40589641000000     		ar = 1174077.29779449m²