Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17760 / 51809
↖ ↑ ↗
← S 71.693018°
W 82.441406°		 ← 191.85 m → S 71.693018°
W 82.435913°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
S 71.694743°
W 82.441406°		 ← 191.84 m →
36 802 m²		 S 71.694743°
W 82.435913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51809 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271003723144531 y=0.790550231933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271003723144531 × 216)
    floor (0.271003723144531 × 65536)
    floor (17760.5)     		tx = 17760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790550231933594 × 216)
    floor (0.790550231933594 × 65536)
    floor (51809.5)     		ty = 51809
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17760 / 51809 ti = "16/17760/51809"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17760/51809.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17760 ÷ 216
    17760 ÷ 65536     		x = 0.27099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51809 ÷ 216
    51809 ÷ 65536     		y = 0.790542602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27099609375 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43887398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790542602539062 × 2 - 1) × π
    -0.581085205078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.82553301133098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43887398} λ = -1.43887398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82553301133098))-π/2
    2×atan(0.161131736195687)-π/2
    2×0.159758553874059-π/2
    0.319517107748119-1.57079632675     		φ = -1.25127922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43887398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25127922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.693018°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17760 KachelY 51809 -1.43887398 -1.25127922 -82.441406 -71.693018
    Oben rechts KachelX + 1 17761 KachelY 51809 -1.43877811 -1.25127922 -82.435913 -71.693018
    Unten links KachelX 17760 KachelY + 1 51810 -1.43887398 -1.25130933 -82.441406 -71.694743
    Unten rechts KachelX + 1 17761 KachelY + 1 51810 -1.43877811 -1.25130933 -82.435913 -71.694743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25127922--1.25130933) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25127922--1.25130933) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43887398--1.43877811) × cos(-1.25127922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314108144624263 × 6371000     		do = 191.853413193887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43887398--1.43877811) × cos(-1.25130933) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314079558433003 × 6371000     		du = 191.835953097874m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25127922)-sin(-1.25130933))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314108144624263-0.314079558433003)×R²
    abs(-1.43877811--1.43887398)×2.85861912595609e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85861912595609e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85861912595609e-05×40589641000000     		ar = 36801.7209647385m²