Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17760 / 51808
↖ ↑ ↗
← S 71.691293°
W 82.441406°		 ← 191.87 m → S 71.691293°
W 82.435913°		 →
↑
191.89 m
↓
↑
191.89 m
↓
S 71.693018°
W 82.441406°		 ← 191.85 m →
36 817 m²		 S 71.693018°
W 82.435913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17760 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.271003723144531 y=0.790534973144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.271003723144531 × 216)
    floor (0.271003723144531 × 65536)
    floor (17760.5)     		tx = 17760
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790534973144531 × 216)
    floor (0.790534973144531 × 65536)
    floor (51808.5)     		ty = 51808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17760 / 51808 ti = "16/17760/51808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17760/51808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17760 ÷ 216
    17760 ÷ 65536     		x = 0.27099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51808 ÷ 216
    51808 ÷ 65536     		y = 0.79052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27099609375 × 2 - 1) × π
    -0.4580078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.43887398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79052734375 × 2 - 1) × π
    -0.5810546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.82543713753174
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.43887398} λ = -1.43887398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82543713753174))-π/2
    2×atan(0.161147185247982)-π/2
    2×0.159773611929991-π/2
    0.319547223859982-1.57079632675     		φ = -1.25124910
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.43887398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.441406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25124910 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.691293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17760 KachelY 51808 -1.43887398 -1.25124910 -82.441406 -71.691293
    Oben rechts KachelX + 1 17761 KachelY 51808 -1.43877811 -1.25124910 -82.435913 -71.691293
    Unten links KachelX 17760 KachelY + 1 51809 -1.43887398 -1.25127922 -82.441406 -71.693018
    Unten rechts KachelX + 1 17761 KachelY + 1 51809 -1.43877811 -1.25127922 -82.435913 -71.693018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25124910--1.25127922) × R
    3.01200000001334e-05 × 6371000     		dl = 191.89452000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25124910--1.25127922) × R
    3.01200000001334e-05 × 6371000     		dr = 191.89452000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.43887398--1.43877811) × cos(-1.25124910) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314136740024525 × 6371000     		do = 191.870878914645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.43887398--1.43877811) × cos(-1.25127922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.314108144624263 × 6371000     		du = 191.853413193887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25124910)-sin(-1.25127922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.314136740024525-0.314108144624263)×R²
    abs(-1.43877811--1.43887398)×2.85954002628985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.85954002628985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.85954002628985e-05×40589641000000     		ar = 36817.294426079m²