Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17753 / 22327
↖ ↑ ↗
← N 75.634766°
W131.239929°		 ← 75.76 m → N 75.634766°
W131.237183°		 →
↑
75.75 m
↓
↑
75.75 m
↓
N 75.634085°
W131.239929°		 ← 75.76 m →
5 739 m²		 N 75.634085°
W131.237183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17753 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135448455810547 y=0.170345306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135448455810547 × 217)
    floor (0.135448455810547 × 131072)
    floor (17753.5)     		tx = 17753
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170345306396484 × 217)
    floor (0.170345306396484 × 131072)
    floor (22327.5)     		ty = 22327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17753 / 22327 ti = "17/17753/22327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17753/22327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17753 ÷ 217
    17753 ÷ 131072     		x = 0.135444641113281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22327 ÷ 217
    22327 ÷ 131072     		y = 0.170341491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135444641113281 × 2 - 1) × π
    -0.729110717773438 × 3.1415926535     		Λ = -2.29056887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.170341491699219 × 2 - 1) × π
    0.659317016601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.07130549568301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29056887} λ = -2.29056887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07130549568301))-π/2
    2×atan(7.93517569637137)-π/2
    2×1.44543601480482-π/2
    2.89087202960964-1.57079632675     		φ = 1.32007570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29056887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.239929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32007570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.634766°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17753 KachelY 22327 -2.29056887 1.32007570 -131.239929 75.634766
    Oben rechts KachelX + 1 17754 KachelY 22327 -2.29052094 1.32007570 -131.237183 75.634766
    Unten links KachelX 17753 KachelY + 1 22328 -2.29056887 1.32006381 -131.239929 75.634085
    Unten rechts KachelX + 1 17754 KachelY + 1 22328 -2.29052094 1.32006381 -131.237183 75.634085
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32007570-1.32006381) × R
    1.18900000001254e-05 × 6371000     		dl = 75.751190000799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32007570-1.32006381) × R
    1.18900000001254e-05 × 6371000     		dr = 75.751190000799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29056887--2.29052094) × cos(1.32007570) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.248102119208281 × 6371000     		do = 75.7609667687889m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29056887--2.29052094) × cos(1.32006381) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.248113637436626 × 6371000     		du = 75.7644839983786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32007570)-sin(1.32006381))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248102119208281-0.248113637436626)×R²
    abs(-2.29052094--2.29056887)×1.15182283459137e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.15182283459137e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.15182283459137e-05×40589641000000     		ar = 5739.11660566197m²