Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17752 / 24103
↖ ↑ ↗
← S 64.354177°
E 15.029297°		 ← 528.73 m → S 64.354177°
E 15.040283°		 →
↑
528.67 m
↓
↑
528.67 m
↓
S 64.358931°
E 15.029297°		 ← 528.64 m →
279 499 m²		 S 64.358931°
E 15.040283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17752 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24103 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541763305664062 y=0.735580444335938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541763305664062 × 215)
    floor (0.541763305664062 × 32768)
    floor (17752.5)     		tx = 17752
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735580444335938 × 215)
    floor (0.735580444335938 × 32768)
    floor (24103.5)     		ty = 24103
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17752 / 24103 ti = "15/17752/24103"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17752/24103.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17752 ÷ 215
    17752 ÷ 32768     		x = 0.541748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24103 ÷ 215
    24103 ÷ 32768     		y = 0.735565185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541748046875 × 2 - 1) × π
    0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.735565185546875 × 2 - 1) × π
    -0.47113037109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.48009971266885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26231071} λ = 0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48009971266885))-π/2
    2×atan(0.227614991153992)-π/2
    2×0.223802030336294-π/2
    0.447604060672589-1.57079632675     		φ = -1.12319227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12319227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.354177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17752 KachelY 24103 0.26231071 -1.12319227 15.029297 -64.354177
    Oben rechts KachelX + 1 17753 KachelY 24103 0.26250246 -1.12319227 15.040283 -64.354177
    Unten links KachelX 17752 KachelY + 1 24104 0.26231071 -1.12327525 15.029297 -64.358931
    Unten rechts KachelX + 1 17753 KachelY + 1 24104 0.26250246 -1.12327525 15.040283 -64.358931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12319227--1.12327525) × R
    8.29799999999548e-05 × 6371000     		dl = 528.665579999712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12319227--1.12327525) × R
    8.29799999999548e-05 × 6371000     		dr = 528.665579999712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26231071-0.26250246) × cos(-1.12319227) × R
    0.000191749999999991 × 0.432806867590158 × 6371000     		do = 528.733857117664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26231071-0.26250246) × cos(-1.12327525) × R
    0.000191749999999991 × 0.43273206073632 × 6371000     		du = 528.642470128847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12319227)-sin(-1.12327525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432806867590158-0.43273206073632)×R²
    abs(0.26250246-0.26231071)×7.48068538378166e-05×R²
    0.000191749999999991×7.48068538378166e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.48068538378166e-05×40589641000000     		ar = 279499.234820692m²