Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17751 / 22328
↖ ↑ ↗
← N 75.634085°
W131.245422°		 ← 75.78 m → N 75.634085°
W131.242676°		 →
↑
75.75 m
↓
↑
75.75 m
↓
N 75.633404°
W131.245422°		 ← 75.78 m →
5 741 m²		 N 75.633404°
W131.242676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17751 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135433197021484 y=0.170352935791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135433197021484 × 217)
    floor (0.135433197021484 × 131072)
    floor (17751.5)     		tx = 17751
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.170352935791016 × 217)
    floor (0.170352935791016 × 131072)
    floor (22328.5)     		ty = 22328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17751 / 22328 ti = "17/17751/22328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17751/22328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17751 ÷ 217
    17751 ÷ 131072     		x = 0.135429382324219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22328 ÷ 217
    22328 ÷ 131072     		y = 0.17034912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135429382324219 × 2 - 1) × π
    -0.729141235351562 × 3.1415926535     		Λ = -2.29066475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.17034912109375 × 2 - 1) × π
    0.6593017578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.07125755878339
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29066475} λ = -2.29066475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.07125755878339))-π/2
    2×atan(7.93479531776771)-π/2
    2×1.44543006804361-π/2
    2.89086013608723-1.57079632675     		φ = 1.32006381
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29066475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.245422°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32006381 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.634085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17751 KachelY 22328 -2.29066475 1.32006381 -131.245422 75.634085
    Oben rechts KachelX + 1 17752 KachelY 22328 -2.29061681 1.32006381 -131.242676 75.634085
    Unten links KachelX 17751 KachelY + 1 22329 -2.29066475 1.32005192 -131.245422 75.633404
    Unten rechts KachelX + 1 17752 KachelY + 1 22329 -2.29061681 1.32005192 -131.242676 75.633404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32006381-1.32005192) × R
    1.18899999999034e-05 × 6371000     		dl = 75.7511899993844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32006381-1.32005192) × R
    1.18899999999034e-05 × 6371000     		dr = 75.7511899993844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29066475--2.29061681) × cos(1.32006381) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248113637436626 × 6371000     		do = 75.7802913181236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29066475--2.29061681) × cos(1.32005192) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.248125155629896 × 6371000     		du = 75.7838092708264m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32006381)-sin(1.32005192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.248113637436626-0.248125155629896)×R²
    abs(-2.29061681--2.29066475)×1.15181932693609e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.15181932693609e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.15181932693609e-05×40589641000000     		ar = 5740.58049051016m²