Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1775 / 563
↖ ↑ ↗
← N 78.296044°
W 23.994141°		 ← 1 982.51 m → N 78.296044°
W 23.906250°		 →
↑
1 983.99 m
↓
↑
1 983.99 m
↓
N 78.278202°
W 23.994141°		 ← 1 985.49 m →
3 936 245 m²		 N 78.278202°
W 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1775 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4334716796875 y=0.1375732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4334716796875 × 212)
    floor (0.4334716796875 × 4096)
    floor (1775.5)     		tx = 1775
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1375732421875 × 212)
    floor (0.1375732421875 × 4096)
    floor (563.5)     		ty = 563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1775 / 563 ti = "12/1775/563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1775/563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1775 ÷ 212
    1775 ÷ 4096     		x = 0.433349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 563 ÷ 212
    563 ÷ 4096     		y = 0.137451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.433349609375 × 2 - 1) × π
    -0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137451171875 × 2 - 1) × π
    0.72509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27796146994507
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.41877676} λ = -0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27796146994507))-π/2
    2×atan(9.75677065289002)-π/2
    2×1.46866004203366-π/2
    2.93732008406731-1.57079632675     		φ = 1.36652376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36652376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.296044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1775 KachelY 563 -0.41877676 1.36652376 -23.994141 78.296044
    Oben rechts KachelX + 1 1776 KachelY 563 -0.41724277 1.36652376 -23.906250 78.296044
    Unten links KachelX 1775 KachelY + 1 564 -0.41877676 1.36621235 -23.994141 78.278202
    Unten rechts KachelX + 1 1776 KachelY + 1 564 -0.41724277 1.36621235 -23.906250 78.278202
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36652376-1.36621235) × R
    0.000311409999999901 × 6371000     		dl = 1983.99310999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36652376-1.36621235) × R
    0.000311409999999901 × 6371000     		dr = 1983.99310999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.41877676--0.41724277) × cos(1.36652376) × R
    0.00153399000000004 × 0.202854904637927 × 6371000     		do = 1982.51118459966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.41877676--0.41724277) × cos(1.36621235) × R
    0.00153399000000004 × 0.203159830211532 × 6371000     		du = 1985.49123756521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36652376)-sin(1.36621235))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202854904637927-0.203159830211532)×R²
    abs(-0.41724277--0.41877676)×0.000304925573604897×R²
    0.00153399000000004×0.000304925573604897×6371000²
    0.00153399000000004×0.000304925573604897×40589641000000     		ar = 3936244.76482923m²