Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17747 / 24065
↖ ↑ ↗
← S 64.172893°
E 14.974365°		 ← 532.19 m → S 64.172893°
E 14.985351°		 →
↑
532.17 m
↓
↑
532.17 m
↓
S 64.177679°
E 14.974365°		 ← 532.10 m →
283 190 m²		 S 64.177679°
E 14.985351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541610717773438 y=0.734420776367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541610717773438 × 215)
    floor (0.541610717773438 × 32768)
    floor (17747.5)     		tx = 17747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734420776367188 × 215)
    floor (0.734420776367188 × 32768)
    floor (24065.5)     		ty = 24065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17747 / 24065 ti = "15/17747/24065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17747/24065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17747 ÷ 215
    17747 ÷ 32768     		x = 0.541595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24065 ÷ 215
    24065 ÷ 32768     		y = 0.734405517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541595458984375 × 2 - 1) × π
    0.08319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26135198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734405517578125 × 2 - 1) × π
    -0.46881103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47281330392661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26135198} λ = 0.26135198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47281330392661))-π/2
    2×atan(0.229279543956955)-π/2
    2×0.225384021640556-π/2
    0.450768043281112-1.57079632675     		φ = -1.12002828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26135198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.974365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12002828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.172893°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17747 KachelY 24065 0.26135198 -1.12002828 14.974365 -64.172893
    Oben rechts KachelX + 1 17748 KachelY 24065 0.26154372 -1.12002828 14.985351 -64.172893
    Unten links KachelX 17747 KachelY + 1 24066 0.26135198 -1.12011181 14.974365 -64.177679
    Unten rechts KachelX + 1 17748 KachelY + 1 24066 0.26154372 -1.12011181 14.985351 -64.177679
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12002828--1.12011181) × R
    8.35299999999428e-05 × 6371000     		dl = 532.169629999636m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12002828--1.12011181) × R
    8.35299999999428e-05 × 6371000     		dr = 532.169629999636m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26135198-0.26154372) × cos(-1.12002828) × R
    0.000191739999999996 × 0.43565699126199 × 6371000     		do = 532.18792435563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26135198-0.26154372) × cos(-1.12011181) × R
    0.000191739999999996 × 0.435581803323145 × 6371000     		du = 532.096076608633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12002828)-sin(-1.12011181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43565699126199-0.435581803323145)×R²
    abs(0.26154372-0.26135198)×7.51879388451449e-05×R²
    0.000191739999999996×7.51879388451449e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.51879388451449e-05×40589641000000     		ar = 283189.811668964m²