Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17747 / 15701
↖ ↑ ↗
← N  7.482304°
E 14.974365°		 ← 1 211.17 m → N  7.482304°
E 14.985351°		 →
↑
1 211.25 m
↓
↑
1 211.25 m
↓
N  7.471411°
E 14.974365°		 ← 1 211.20 m →
1 467 058 m²		 N  7.471411°
E 14.985351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17747 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15701 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541610717773438 y=0.479171752929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541610717773438 × 215)
    floor (0.541610717773438 × 32768)
    floor (17747.5)     		tx = 17747
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479171752929688 × 215)
    floor (0.479171752929688 × 32768)
    floor (15701.5)     		ty = 15701
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17747 / 15701 ti = "15/17747/15701"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17747/15701.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17747 ÷ 215
    17747 ÷ 32768     		x = 0.541595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15701 ÷ 215
    15701 ÷ 32768     		y = 0.479156494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541595458984375 × 2 - 1) × π
    0.08319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26135198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479156494140625 × 2 - 1) × π
    0.04168701171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.130963609761993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26135198} λ = 0.26135198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.130963609761993))-π/2
    2×atan(1.1399262983679)-π/2
    2×0.850693582088033-π/2
    1.70138716417607-1.57079632675     		φ = 0.13059084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26135198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.974365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13059084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.482304°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17747 KachelY 15701 0.26135198 0.13059084 14.974365 7.482304
    Oben rechts KachelX + 1 17748 KachelY 15701 0.26154372 0.13059084 14.985351 7.482304
    Unten links KachelX 17747 KachelY + 1 15702 0.26135198 0.13040072 14.974365 7.471411
    Unten rechts KachelX + 1 17748 KachelY + 1 15702 0.26154372 0.13040072 14.985351 7.471411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13059084-0.13040072) × R
    0.000190120000000016 × 6371000     		dl = 1211.2545200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13059084-0.13040072) × R
    0.000190120000000016 × 6371000     		dr = 1211.2545200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26135198-0.26154372) × cos(0.13059084) × R
    0.000191739999999996 × 0.991485127609309 × 6371000     		do = 1211.17398016128m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26135198-0.26154372) × cos(0.13040072) × R
    0.000191739999999996 × 0.99150986711177 × 6371000     		du = 1211.20420133236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13059084)-sin(0.13040072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991485127609309-0.99150986711177)×R²
    abs(0.26154372-0.26135198)×2.47395024619568e-05×R²
    0.000191739999999996×2.47395024619568e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.47395024619568e-05×40589641000000     		ar = 1467058.26516077m²