Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17740 / 15712
↖ ↑ ↗
← N  7.362467°
E 14.897461°		 ← 1 211.57 m → N  7.362467°
E 14.908447°		 →
↑
1 211.57 m
↓
↑
1 211.57 m
↓
N  7.351571°
E 14.897461°		 ← 1 211.60 m →
1 467 920 m²		 N  7.351571°
E 14.908447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17740 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15712 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541397094726562 y=0.479507446289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541397094726562 × 215)
    floor (0.541397094726562 × 32768)
    floor (17740.5)     		tx = 17740
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479507446289062 × 215)
    floor (0.479507446289062 × 32768)
    floor (15712.5)     		ty = 15712
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17740 / 15712 ti = "15/17740/15712"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17740/15712.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17740 ÷ 215
    17740 ÷ 32768     		x = 0.5413818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15712 ÷ 215
    15712 ÷ 32768     		y = 0.4794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5413818359375 × 2 - 1) × π
    0.082763671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.26000974
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4794921875 × 2 - 1) × π
    0.041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.128854386178711
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.26000974} λ = 0.26000974}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.128854386178711))-π/2
    2×atan(1.13752447282016)-π/2
    2×0.849647807331915-π/2
    1.69929561466383-1.57079632675     		φ = 0.12849929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.26000974} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12849929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.362467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17740 KachelY 15712 0.26000974 0.12849929 14.897461 7.362467
    Oben rechts KachelX + 1 17741 KachelY 15712 0.26020149 0.12849929 14.908447 7.362467
    Unten links KachelX 17740 KachelY + 1 15713 0.26000974 0.12830912 14.897461 7.351571
    Unten rechts KachelX + 1 17741 KachelY + 1 15713 0.26020149 0.12830912 14.908447 7.351571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12849929-0.12830912) × R
    0.00019016999999999 × 6371000     		dl = 1211.57306999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12849929-0.12830912) × R
    0.00019016999999999 × 6371000     		dr = 1211.57306999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.26000974-0.26020149) × cos(0.12849929) × R
    0.000191749999999991 × 0.991755320332752 × 6371000     		do = 1211.56722571475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.26000974-0.26020149) × cos(0.12830912) × R
    0.000191749999999991 × 0.991779671914752 × 6371000     		du = 1211.59697456312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12849929)-sin(0.12830912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991755320332752-0.991779671914752)×R²
    abs(0.26020149-0.26000974)×2.43515820000928e-05×R²
    0.000191749999999991×2.43515820000928e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.43515820000928e-05×40589641000000     		ar = 1467920.24904619m²