Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 1774 / 2326
↖ ↑ ↗
← N 77.961583°
W141.020508°		 ← 509.58 m → N 77.961583°
W140.998535°		 →
↑
509.68 m
↓
↑
509.68 m
↓
N 77.956999°
W141.020508°		 ← 509.77 m →
259 769 m²		 N 77.956999°
W140.998535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1774 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.108306884765625 y=0.141998291015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.108306884765625 × 214)
    floor (0.108306884765625 × 16384)
    floor (1774.5)     		tx = 1774
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.141998291015625 × 214)
    floor (0.141998291015625 × 16384)
    floor (2326.5)     		ty = 2326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 1774 / 2326 ti = "14/1774/2326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/1774/2326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1774 ÷ 214
    1774 ÷ 16384     		x = 0.1082763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2326 ÷ 214
    2326 ÷ 16384     		y = 0.1419677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1082763671875 × 2 - 1) × π
    -0.783447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.46127217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1419677734375 × 2 - 1) × π
    0.716064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.24958282537
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.46127217} λ = -2.46127217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24958282537))-π/2
    2×atan(9.48377861915411)-π/2
    2×1.4657413187857-π/2
    2.9314826375714-1.57079632675     		φ = 1.36068631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.46127217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -141.020508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36068631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.961583°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1774 KachelY 2326 -2.46127217 1.36068631 -141.020508 77.961583
    Oben rechts KachelX + 1 1775 KachelY 2326 -2.46088868 1.36068631 -140.998535 77.961583
    Unten links KachelX 1774 KachelY + 1 2327 -2.46127217 1.36060631 -141.020508 77.956999
    Unten rechts KachelX + 1 1775 KachelY + 1 2327 -2.46088868 1.36060631 -140.998535 77.956999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36068631-1.36060631) × R
    7.9999999999858e-05 × 6371000     		dl = 509.679999999095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36068631-1.36060631) × R
    7.9999999999858e-05 × 6371000     		dr = 509.679999999095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.46127217--2.46088868) × cos(1.36068631) × R
    0.000383489999999931 × 0.208567498410863 × 6371000     		do = 509.57519683063m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.46127217--2.46088868) × cos(1.36060631) × R
    0.000383489999999931 × 0.20864573838134 × 6371000     		du = 509.76635388367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36068631)-sin(1.36060631))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.208567498410863-0.20864573838134)×R²
    abs(-2.46088868--2.46127217)×7.82399704776227e-05×R²
    0.000383489999999931×7.82399704776227e-05×6371000²
    0.000383489999999931×7.82399704776227e-05×40589641000000     		ar = 259769.000922089m²