Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17739 / 15713
↖ ↑ ↗
← N  7.351571°
E 14.886475°		 ← 1 211.53 m → N  7.351571°
E 14.897461°		 →
↑
1 211.57 m
↓
↑
1 211.57 m
↓
N  7.340675°
E 14.886475°		 ← 1 211.56 m →
1 467 880 m²		 N  7.340675°
E 14.897461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17739 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541366577148438 y=0.479537963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541366577148438 × 215)
    floor (0.541366577148438 × 32768)
    floor (17739.5)     		tx = 17739
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479537963867188 × 215)
    floor (0.479537963867188 × 32768)
    floor (15713.5)     		ty = 15713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17739 / 15713 ti = "15/17739/15713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17739/15713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17739 ÷ 215
    17739 ÷ 32768     		x = 0.541351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15713 ÷ 215
    15713 ÷ 32768     		y = 0.479522705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541351318359375 × 2 - 1) × π
    0.08270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25981800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.479522705078125 × 2 - 1) × π
    0.04095458984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.128662638580231
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25981800} λ = 0.25981800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.128662638580231))-π/2
    2×atan(1.13730637614471)-π/2
    2×0.849552722813796-π/2
    1.69910544562759-1.57079632675     		φ = 0.12830912
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25981800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.886475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12830912 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.351571°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17739 KachelY 15713 0.25981800 0.12830912 14.886475 7.351571
    Oben rechts KachelX + 1 17740 KachelY 15713 0.26000974 0.12830912 14.897461 7.351571
    Unten links KachelX 17739 KachelY + 1 15714 0.25981800 0.12811895 14.886475 7.340675
    Unten rechts KachelX + 1 17740 KachelY + 1 15714 0.26000974 0.12811895 14.897461 7.340675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12830912-0.12811895) × R
    0.00019016999999999 × 6371000     		dl = 1211.57306999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12830912-0.12811895) × R
    0.00019016999999999 × 6371000     		dr = 1211.57306999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25981800-0.26000974) × cos(0.12830912) × R
    0.000191739999999996 × 0.991779671914752 × 6371000     		do = 1211.53378828026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25981800-0.26000974) × cos(0.12811895) × R
    0.000191739999999996 × 0.991803987629408 × 6371000     		du = 1211.56349176252m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12830912)-sin(0.12811895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991779671914752-0.991803987629408)×R²
    abs(0.26000974-0.25981800)×2.43157146564421e-05×R²
    0.000191739999999996×2.43157146564421e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.43157146564421e-05×40589641000000     		ar = 1467879.70966872m²