Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17738 / 15714
↖ ↑ ↗
← N  7.340675°
E 14.875488°		 ← 1 211.63 m → N  7.340675°
E 14.886475°		 →
↑
1 211.64 m
↓
↑
1 211.64 m
↓
N  7.329779°
E 14.875488°		 ← 1 211.66 m →
1 468 069 m²		 N  7.329779°
E 14.886475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17738 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15714 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541336059570312 y=0.479568481445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541336059570312 × 215)
    floor (0.541336059570312 × 32768)
    floor (17738.5)     		tx = 17738
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479568481445312 × 215)
    floor (0.479568481445312 × 32768)
    floor (15714.5)     		ty = 15714
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17738 / 15714 ti = "15/17738/15714"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17738/15714.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17738 ÷ 215
    17738 ÷ 32768     		x = 0.54132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15714 ÷ 215
    15714 ÷ 32768     		y = 0.47955322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54132080078125 × 2 - 1) × π
    0.0826416015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25962625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47955322265625 × 2 - 1) × π
    0.0408935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.12847089098175
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25962625} λ = 0.25962625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.12847089098175))-π/2
    2×atan(1.13708832128477)-π/2
    2×0.849457635962702-π/2
    1.6989152719254-1.57079632675     		φ = 0.12811895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25962625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.875488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12811895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.340675°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17738 KachelY 15714 0.25962625 0.12811895 14.875488 7.340675
    Oben rechts KachelX + 1 17739 KachelY 15714 0.25981800 0.12811895 14.886475 7.340675
    Unten links KachelX 17738 KachelY + 1 15715 0.25962625 0.12792877 14.875488 7.329779
    Unten rechts KachelX + 1 17739 KachelY + 1 15715 0.25981800 0.12792877 14.886475 7.329779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12811895-0.12792877) × R
    0.000190180000000012 × 6371000     		dl = 1211.63678000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12811895-0.12792877) × R
    0.000190180000000012 × 6371000     		dr = 1211.63678000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25962625-0.25981800) × cos(0.12811895) × R
    0.000191749999999991 × 0.991803987629408 × 6371000     		do = 1211.62667959454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25962625-0.25981800) × cos(0.12792877) × R
    0.000191749999999991 × 0.991828268751643 × 6371000     		du = 1211.6563423665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12811895)-sin(0.12792877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991803987629408-0.991828268751643)×R²
    abs(0.25981800-0.25962625)×2.42811222345152e-05×R²
    0.000191749999999991×2.42811222345152e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.42811222345152e-05×40589641000000     		ar = 1468069.4233037m²