Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17737 / 15716
↖ ↑ ↗
← N  7.318882°
E 14.864502°		 ← 1 211.69 m → N  7.318882°
E 14.875488°		 →
↑
1 211.64 m
↓
↑
1 211.64 m
↓
N  7.307985°
E 14.864502°		 ← 1 211.72 m →
1 468 141 m²		 N  7.307985°
E 14.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17737 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541305541992188 y=0.479629516601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541305541992188 × 215)
    floor (0.541305541992188 × 32768)
    floor (17737.5)     		tx = 17737
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479629516601562 × 215)
    floor (0.479629516601562 × 32768)
    floor (15716.5)     		ty = 15716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17737 / 15716 ti = "15/17737/15716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17737/15716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17737 ÷ 215
    17737 ÷ 32768     		x = 0.541290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15716 ÷ 215
    15716 ÷ 32768     		y = 0.4796142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541290283203125 × 2 - 1) × π
    0.08258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25943450
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4796142578125 × 2 - 1) × π
    0.040771484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.12808739578479
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25943450} λ = 0.25943450}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.12808739578479))-π/2
    2×atan(1.13665233697932)-π/2
    2×0.849267455275113-π/2
    1.69853491055023-1.57079632675     		φ = 0.12773858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25943450} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.864502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12773858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.318882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17737 KachelY 15716 0.25943450 0.12773858 14.864502 7.318882
    Oben rechts KachelX + 1 17738 KachelY 15716 0.25962625 0.12773858 14.875488 7.318882
    Unten links KachelX 17737 KachelY + 1 15717 0.25943450 0.12754840 14.864502 7.307985
    Unten rechts KachelX + 1 17738 KachelY + 1 15717 0.25962625 0.12754840 14.875488 7.307985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12773858-0.12754840) × R
    0.000190179999999984 × 6371000     		dl = 1211.6367799999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12773858-0.12754840) × R
    0.000190179999999984 × 6371000     		dr = 1211.6367799999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25943450-0.25962625) × cos(0.12773858) × R
    0.000191749999999991 × 0.991852515274919 × 6371000     		do = 1211.68596287101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25943450-0.25962625) × cos(0.12754840) × R
    0.000191749999999991 × 0.991876724648643 × 6371000     		du = 1211.71553799216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12773858)-sin(0.12754840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991852515274919-0.991876724648643)×R²
    abs(0.25962625-0.25943450)×2.420937372416e-05×R²
    0.000191749999999991×2.420937372416e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.420937372416e-05×40589641000000     		ar = 1468141.20000146m²