Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17735 / 15691
↖ ↑ ↗
← N  7.591218°
E 14.842530°		 ← 1 210.87 m → N  7.591218°
E 14.853515°		 →
↑
1 210.94 m
↓
↑
1 210.94 m
↓
N  7.580328°
E 14.842530°		 ← 1 210.90 m →
1 466 304 m²		 N  7.580328°
E 14.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15691 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541244506835938 y=0.478866577148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541244506835938 × 215)
    floor (0.541244506835938 × 32768)
    floor (17735.5)     		tx = 17735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478866577148438 × 215)
    floor (0.478866577148438 × 32768)
    floor (15691.5)     		ty = 15691
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17735 / 15691 ti = "15/17735/15691"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17735/15691.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17735 ÷ 215
    17735 ÷ 32768     		x = 0.541229248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15691 ÷ 215
    15691 ÷ 32768     		y = 0.478851318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541229248046875 × 2 - 1) × π
    0.08245849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25905101
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478851318359375 × 2 - 1) × π
    0.04229736328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.132881085746796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25905101} λ = 0.25905101}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.132881085746796))-π/2
    2×atan(1.1421141766011)-π/2
    2×0.851644037310323-π/2
    1.70328807462065-1.57079632675     		φ = 0.13249175
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25905101} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.842530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13249175 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.591218°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17735 KachelY 15691 0.25905101 0.13249175 14.842530 7.591218
    Oben rechts KachelX + 1 17736 KachelY 15691 0.25924275 0.13249175 14.853515 7.591218
    Unten links KachelX 17735 KachelY + 1 15692 0.25905101 0.13230168 14.842530 7.580328
    Unten rechts KachelX + 1 17736 KachelY + 1 15692 0.25924275 0.13230168 14.853515 7.580328
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13249175-0.13230168) × R
    0.000190069999999987 × 6371000     		dl = 1210.93596999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13249175-0.13230168) × R
    0.000190069999999987 × 6371000     		dr = 1210.93596999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25905101-0.25924275) × cos(0.13249175) × R
    0.000191739999999996 × 0.991235799962068 × 6371000     		do = 1210.86940760597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25905101-0.25924275) × cos(0.13230168) × R
    0.000191739999999996 × 0.991260891152012 × 6371000     		du = 1210.90005838987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13249175)-sin(0.13230168))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991235799962068-0.991260891152012)×R²
    abs(0.25924275-0.25905101)×2.50911899443151e-05×R²
    0.000191739999999996×2.50911899443151e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.50911899443151e-05×40589641000000     		ar = 1466303.8831253m²