Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17734 / 24038
↖ ↑ ↗
← S 64.043363°
E 14.831543°		 ← 534.70 m → S 64.043363°
E 14.842530°		 →
↑
534.59 m
↓
↑
534.59 m
↓
S 64.048171°
E 14.831543°		 ← 534.61 m →
285 821 m²		 S 64.048171°
E 14.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541213989257812 y=0.733596801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541213989257812 × 215)
    floor (0.541213989257812 × 32768)
    floor (17734.5)     		tx = 17734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733596801757812 × 215)
    floor (0.733596801757812 × 32768)
    floor (24038.5)     		ty = 24038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17734 / 24038 ti = "15/17734/24038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17734/24038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17734 ÷ 215
    17734 ÷ 32768     		x = 0.54119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24038 ÷ 215
    24038 ÷ 32768     		y = 0.73358154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54119873046875 × 2 - 1) × π
    0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73358154296875 × 2 - 1) × π
    -0.4671630859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46763611876764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25885926} λ = 0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46763611876764))-π/2
    2×atan(0.23046964463676)-π/2
    2×0.226514390870854-π/2
    0.453028781741708-1.57079632675     		φ = -1.11776755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11776755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.043363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17734 KachelY 24038 0.25885926 -1.11776755 14.831543 -64.043363
    Oben rechts KachelX + 1 17735 KachelY 24038 0.25905101 -1.11776755 14.842530 -64.043363
    Unten links KachelX 17734 KachelY + 1 24039 0.25885926 -1.11785146 14.831543 -64.048171
    Unten rechts KachelX + 1 17735 KachelY + 1 24039 0.25905101 -1.11785146 14.842530 -64.048171
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11776755--1.11785146) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dl = 534.590610000483m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11776755--1.11785146) × R
    8.39100000000759e-05 × 6371000     		dr = 534.590610000483m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25885926-0.25905101) × cos(-1.11776755) × R
    0.000191750000000046 × 0.437690788155913 × 6371000     		do = 534.700246174827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25885926-0.25905101) × cos(-1.11785146) × R
    0.000191750000000046 × 0.437615340989335 × 6371000     		du = 534.608076954834m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11776755)-sin(-1.11785146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437690788155913-0.437615340989335)×R²
    abs(0.25905101-0.25885926)×7.54471665785905e-05×R²
    0.000191750000000046×7.54471665785905e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.54471665785905e-05×40589641000000     		ar = 285821.094538158m²