Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17734 / 15692
↖ ↑ ↗
← N  7.580328°
E 14.831543°		 ← 1 210.96 m → N  7.580328°
E 14.842530°		 →
↑
1 211 m
↓
↑
1 211 m
↓
N  7.569437°
E 14.831543°		 ← 1 210.99 m →
1 466 495 m²		 N  7.569437°
E 14.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17734 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15692 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541213989257812 y=0.478897094726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541213989257812 × 215)
    floor (0.541213989257812 × 32768)
    floor (17734.5)     		tx = 17734
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478897094726562 × 215)
    floor (0.478897094726562 × 32768)
    floor (15692.5)     		ty = 15692
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17734 / 15692 ti = "15/17734/15692"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17734/15692.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17734 ÷ 215
    17734 ÷ 32768     		x = 0.54119873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15692 ÷ 215
    15692 ÷ 32768     		y = 0.4788818359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54119873046875 × 2 - 1) × π
    0.0823974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25885926
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4788818359375 × 2 - 1) × π
    0.042236328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.132689338148315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25885926} λ = 0.25885926}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.132689338148315))-π/2
    2×atan(1.14189519994534)-π/2
    2×0.851549002565139-π/2
    1.70309800513028-1.57079632675     		φ = 0.13230168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25885926} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.831543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13230168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.580328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17734 KachelY 15692 0.25885926 0.13230168 14.831543 7.580328
    Oben rechts KachelX + 1 17735 KachelY 15692 0.25905101 0.13230168 14.842530 7.580328
    Unten links KachelX 17734 KachelY + 1 15693 0.25885926 0.13211160 14.831543 7.569437
    Unten rechts KachelX + 1 17735 KachelY + 1 15693 0.25905101 0.13211160 14.842530 7.569437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13230168-0.13211160) × R
    0.000190080000000009 × 6371000     		dl = 1210.99968000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13230168-0.13211160) × R
    0.000190080000000009 × 6371000     		dr = 1210.99968000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25885926-0.25905101) × cos(0.13230168) × R
    0.000191750000000046 × 0.991260891152012 × 6371000     		do = 1210.96321162157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25885926-0.25905101) × cos(0.13211160) × R
    0.000191750000000046 × 0.991285947848342 × 6371000     		du = 1210.99382186528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13230168)-sin(0.13211160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991260891152012-0.991285947848342)×R²
    abs(0.25905101-0.25885926)×2.5056696330239e-05×R²
    0.000191750000000046×2.5056696330239e-05×6371000²
    0.000191750000000046×2.5056696330239e-05×40589641000000     		ar = 1466494.60067861m²