Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17732 / 15706
↖ ↑ ↗
← N  7.427836°
E 14.809570°		 ← 1 211.39 m → N  7.427836°
E 14.820557°		 →
↑
1 211.38 m
↓
↑
1 211.38 m
↓
N  7.416942°
E 14.809570°		 ← 1 211.42 m →
1 467 472 m²		 N  7.416942°
E 14.820557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17732 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541152954101562 y=0.479324340820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541152954101562 × 215)
    floor (0.541152954101562 × 32768)
    floor (17732.5)     		tx = 17732
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479324340820312 × 215)
    floor (0.479324340820312 × 32768)
    floor (15706.5)     		ty = 15706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17732 / 15706 ti = "15/17732/15706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17732/15706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17732 ÷ 215
    17732 ÷ 32768     		x = 0.5411376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15706 ÷ 215
    15706 ÷ 32768     		y = 0.47930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5411376953125 × 2 - 1) × π
    0.082275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25847576
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47930908203125 × 2 - 1) × π
    0.0413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.130004871769592
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25847576} λ = 0.25847576}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.130004871769592))-π/2
    2×atan(1.13883393144763)-π/2
    2×0.850218265258801-π/2
    1.7004365305176-1.57079632675     		φ = 0.12964020
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25847576} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.809570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12964020 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.427836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17732 KachelY 15706 0.25847576 0.12964020 14.809570 7.427836
    Oben rechts KachelX + 1 17733 KachelY 15706 0.25866751 0.12964020 14.820557 7.427836
    Unten links KachelX 17732 KachelY + 1 15707 0.25847576 0.12945006 14.809570 7.416942
    Unten rechts KachelX + 1 17733 KachelY + 1 15707 0.25866751 0.12945006 14.820557 7.416942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12964020-0.12945006) × R
    0.000190140000000005 × 6371000     		dl = 1211.38194000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12964020-0.12945006) × R
    0.000190140000000005 × 6371000     		dr = 1211.38194000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25847576-0.25866751) × cos(0.12964020) × R
    0.000191749999999991 × 0.991608471896459 × 6371000     		do = 1211.38782990118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25847576-0.25866751) × cos(0.12945006) × R
    0.000191749999999991 × 0.991633034770574 × 6371000     		du = 1211.41783687229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12964020)-sin(0.12945006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991608471896459-0.991633034770574)×R²
    abs(0.25866751-0.25847576)×2.45628741151194e-05×R²
    0.000191749999999991×2.45628741151194e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.45628741151194e-05×40589641000000     		ar = 1467471.51885055m²