Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17731 / 24045
↖ ↑ ↗
← S 64.077003°
E 14.798584°		 ← 534.03 m → S 64.077003°
E 14.809570°		 →
↑
534.02 m
↓
↑
534.02 m
↓
S 64.081805°
E 14.798584°		 ← 533.94 m →
285 155 m²		 S 64.081805°
E 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541122436523438 y=0.733810424804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541122436523438 × 215)
    floor (0.541122436523438 × 32768)
    floor (17731.5)     		tx = 17731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733810424804688 × 215)
    floor (0.733810424804688 × 32768)
    floor (24045.5)     		ty = 24045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17731 / 24045 ti = "15/17731/24045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17731/24045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17731 ÷ 215
    17731 ÷ 32768     		x = 0.541107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24045 ÷ 215
    24045 ÷ 32768     		y = 0.733795166015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541107177734375 × 2 - 1) × π
    0.08221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25828402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.46759033203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.468978351957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25828402} λ = 0.25828402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.468978351957))-π/2
    2×atan(0.23016050814363)-π/2
    2×0.226220826511154-π/2
    0.452441653022308-1.57079632675     		φ = -1.11835467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25828402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.798584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11835467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.077003°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17731 KachelY 24045 0.25828402 -1.11835467 14.798584 -64.077003
    Oben rechts KachelX + 1 17732 KachelY 24045 0.25847576 -1.11835467 14.809570 -64.077003
    Unten links KachelX 17731 KachelY + 1 24046 0.25828402 -1.11843849 14.798584 -64.081805
    Unten rechts KachelX + 1 17732 KachelY + 1 24046 0.25847576 -1.11843849 14.809570 -64.081805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11835467--1.11843849) × R
    8.38199999999567e-05 × 6371000     		dl = 534.017219999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11835467--1.11843849) × R
    8.38199999999567e-05 × 6371000     		dr = 534.017219999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25828402-0.25847576) × cos(-1.11835467) × R
    0.000191739999999996 × 0.437162818148854 × 6371000     		do = 534.027405648096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25828402-0.25847576) × cos(-1.11843849) × R
    0.000191739999999996 × 0.437087430381911 × 6371000     		du = 533.935313795984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11835467)-sin(-1.11843849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437162818148854-0.437087430381911)×R²
    abs(0.25847576-0.25828402)×7.53877669426584e-05×R²
    0.000191739999999996×7.53877669426584e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.53877669426584e-05×40589641000000     		ar = 285155.241417214m²