Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17731 / 15708
↖ ↑ ↗
← N  7.406048°
E 14.798584°		 ← 1 211.38 m → N  7.406048°
E 14.809570°		 →
↑
1 211.45 m
↓
↑
1 211.45 m
↓
N  7.395153°
E 14.798584°		 ← 1 211.41 m →
1 467 545 m²		 N  7.395153°
E 14.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17731 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541122436523438 y=0.479385375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541122436523438 × 215)
    floor (0.541122436523438 × 32768)
    floor (17731.5)     		tx = 17731
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479385375976562 × 215)
    floor (0.479385375976562 × 32768)
    floor (15708.5)     		ty = 15708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17731 / 15708 ti = "15/17731/15708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17731/15708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17731 ÷ 215
    17731 ÷ 32768     		x = 0.541107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15708 ÷ 215
    15708 ÷ 32768     		y = 0.4793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541107177734375 × 2 - 1) × π
    0.08221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25828402
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4793701171875 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.129621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25828402} λ = 0.25828402}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.129621376572632))-π/2
    2×atan(1.13839727783741)-π/2
    2×0.850028122007007-π/2
    1.70005624401401-1.57079632675     		φ = 0.12925992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25828402} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.798584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12925992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.406048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17731 KachelY 15708 0.25828402 0.12925992 14.798584 7.406048
    Oben rechts KachelX + 1 17732 KachelY 15708 0.25847576 0.12925992 14.809570 7.406048
    Unten links KachelX 17731 KachelY + 1 15709 0.25828402 0.12906977 14.798584 7.395153
    Unten rechts KachelX + 1 17732 KachelY + 1 15709 0.25847576 0.12906977 14.809570 7.395153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12925992-0.12906977) × R
    0.00019015 × 6371000     		dl = 1211.44565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12925992-0.12906977) × R
    0.00019015 × 6371000     		dr = 1211.44565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25828402-0.25847576) × cos(0.12925992) × R
    0.000191739999999996 × 0.991657561793962 × 6371000     		do = 1211.38462154352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25828402-0.25847576) × cos(0.12906977) × R
    0.000191739999999996 × 0.991682054252854 × 6371000     		du = 1211.41454093221m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12925992)-sin(0.12906977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991657561793962-0.991682054252854)×R²
    abs(0.25847576-0.25828402)×2.44924588920226e-05×R²
    0.000191739999999996×2.44924588920226e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.44924588920226e-05×40589641000000     		ar = 1467544.75752411m²