Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17730 / 15696
↖ ↑ ↗
← N  7.536764°
E 14.787598°		 ← 1 211.09 m → N  7.536764°
E 14.798584°		 →
↑
1 211.06 m
↓
↑
1 211.06 m
↓
N  7.525873°
E 14.787598°		 ← 1 211.12 m →
1 466 720 m²		 N  7.525873°
E 14.798584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17730 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15696 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541091918945312 y=0.479019165039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541091918945312 × 215)
    floor (0.541091918945312 × 32768)
    floor (17730.5)     		tx = 17730
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479019165039062 × 215)
    floor (0.479019165039062 × 32768)
    floor (15696.5)     		ty = 15696
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17730 / 15696 ti = "15/17730/15696"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17730/15696.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17730 ÷ 215
    17730 ÷ 32768     		x = 0.54107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15696 ÷ 215
    15696 ÷ 32768     		y = 0.47900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54107666015625 × 2 - 1) × π
    0.0821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25809227
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.47900390625 × 2 - 1) × π
    0.0419921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.131922347754395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25809227} λ = 0.25809227}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.131922347754395))-π/2
    2×atan(1.14101971308404)-π/2
    2×0.851168839579182-π/2
    1.70233767915836-1.57079632675     		φ = 0.13154135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25809227} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.787598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13154135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.536764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17730 KachelY 15696 0.25809227 0.13154135 14.787598 7.536764
    Oben rechts KachelX + 1 17731 KachelY 15696 0.25828402 0.13154135 14.798584 7.536764
    Unten links KachelX 17730 KachelY + 1 15697 0.25809227 0.13135126 14.787598 7.525873
    Unten rechts KachelX + 1 17731 KachelY + 1 15697 0.25828402 0.13135126 14.798584 7.525873
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13154135-0.13135126) × R
    0.000190090000000004 × 6371000     		dl = 1211.06339000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13154135-0.13135126) × R
    0.000190090000000004 × 6371000     		dr = 1211.06339000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25809227-0.25828402) × cos(0.13154135) × R
    0.000191749999999991 × 0.991360904351957 × 6371000     		do = 1211.08539167179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25809227-0.25828402) × cos(0.13135126) × R
    0.000191749999999991 × 0.991385819088467 × 6371000     		du = 1211.11582849181m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13154135)-sin(0.13135126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991360904351957-0.991385819088467)×R²
    abs(0.25828402-0.25809227)×2.49147365095626e-05×R²
    0.000191749999999991×2.49147365095626e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.49147365095626e-05×40589641000000     		ar = 1466719.6148932m²