Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17729 / 15708
↖ ↑ ↗
← N  7.406048°
E 14.776611°		 ← 1 211.45 m → N  7.406048°
E 14.787598°		 →
↑
1 211.45 m
↓
↑
1 211.45 m
↓
N  7.395153°
E 14.776611°		 ← 1 211.48 m →
1 467 621 m²		 N  7.395153°
E 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541061401367188 y=0.479385375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541061401367188 × 215)
    floor (0.541061401367188 × 32768)
    floor (17729.5)     		tx = 17729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.479385375976562 × 215)
    floor (0.479385375976562 × 32768)
    floor (15708.5)     		ty = 15708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17729 / 15708 ti = "15/17729/15708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17729/15708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17729 ÷ 215
    17729 ÷ 32768     		x = 0.541046142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15708 ÷ 215
    15708 ÷ 32768     		y = 0.4793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541046142578125 × 2 - 1) × π
    0.08209228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25790052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4793701171875 × 2 - 1) × π
    0.041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.129621376572632
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25790052} λ = 0.25790052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.129621376572632))-π/2
    2×atan(1.13839727783741)-π/2
    2×0.850028122007007-π/2
    1.70005624401401-1.57079632675     		φ = 0.12925992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25790052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.776611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.12925992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.406048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17729 KachelY 15708 0.25790052 0.12925992 14.776611 7.406048
    Oben rechts KachelX + 1 17730 KachelY 15708 0.25809227 0.12925992 14.787598 7.406048
    Unten links KachelX 17729 KachelY + 1 15709 0.25790052 0.12906977 14.776611 7.395153
    Unten rechts KachelX + 1 17730 KachelY + 1 15709 0.25809227 0.12906977 14.787598 7.395153
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.12925992-0.12906977) × R
    0.00019015 × 6371000     		dl = 1211.44565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.12925992-0.12906977) × R
    0.00019015 × 6371000     		dr = 1211.44565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25790052-0.25809227) × cos(0.12925992) × R
    0.000191749999999991 × 0.991657561793962 × 6371000     		do = 1211.44780004674m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25790052-0.25809227) × cos(0.12906977) × R
    0.000191749999999991 × 0.991682054252854 × 6371000     		du = 1211.47772099586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.12925992)-sin(0.12906977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991657561793962-0.991682054252854)×R²
    abs(0.25809227-0.25790052)×2.44924588920226e-05×R²
    0.000191749999999991×2.44924588920226e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.44924588920226e-05×40589641000000     		ar = 1467621.29579243m²