Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 17729 / 15695
↖ ↑ ↗
← N  7.547656°
E 14.776611°		 ← 1 211.05 m → N  7.547656°
E 14.787598°		 →
↑
1 211.06 m
↓
↑
1 211.06 m
↓
N  7.536764°
E 14.776611°		 ← 1 211.09 m →
1 466 683 m²		 N  7.536764°
E 14.787598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.541061401367188 y=0.478988647460938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.541061401367188 × 215)
    floor (0.541061401367188 × 32768)
    floor (17729.5)     		tx = 17729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.478988647460938 × 215)
    floor (0.478988647460938 × 32768)
    floor (15695.5)     		ty = 15695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17729 / 15695 ti = "15/17729/15695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17729/15695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17729 ÷ 215
    17729 ÷ 32768     		x = 0.541046142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15695 ÷ 215
    15695 ÷ 32768     		y = 0.478973388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.541046142578125 × 2 - 1) × π
    0.08209228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25790052
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.478973388671875 × 2 - 1) × π
    0.04205322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.132114095352875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25790052} λ = 0.25790052}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.132114095352875))-π/2
    2×atan(1.1412385218512)-π/2
    2×0.851263883919708-π/2
    1.70252776783942-1.57079632675     		φ = 0.13173144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25790052} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.776611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.13173144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 7.547656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17729 KachelY 15695 0.25790052 0.13173144 14.776611 7.547656
    Oben rechts KachelX + 1 17730 KachelY 15695 0.25809227 0.13173144 14.787598 7.547656
    Unten links KachelX 17729 KachelY + 1 15696 0.25790052 0.13154135 14.776611 7.536764
    Unten rechts KachelX + 1 17730 KachelY + 1 15696 0.25809227 0.13154135 14.787598 7.536764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.13173144-0.13154135) × R
    0.000190090000000004 × 6371000     		dl = 1211.06339000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.13173144-0.13154135) × R
    0.000190090000000004 × 6371000     		dr = 1211.06339000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25790052-0.25809227) × cos(0.13173144) × R
    0.000191749999999991 × 0.991335953793407 × 6371000     		do = 1211.05491109015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25790052-0.25809227) × cos(0.13154135) × R
    0.000191749999999991 × 0.991360904351957 × 6371000     		du = 1211.08539167179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.13173144)-sin(0.13154135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.991335953793407-0.991360904351957)×R²
    abs(0.25809227-0.25790052)×2.49505585506737e-05×R²
    0.000191749999999991×2.49505585506737e-05×6371000²
    0.000191749999999991×2.49505585506737e-05×40589641000000     		ar = 1466682.7274759m²