Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17728 / 22081
↖ ↑ ↗
← N 75.801445°
W131.308594°		 ← 74.92 m → N 75.801445°
W131.305847°		 →
↑
74.92 m
↓
↑
74.92 m
↓
N 75.800771°
W131.308594°		 ← 74.92 m →
5 613 m²		 N 75.800771°
W131.305847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22081 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135257720947266 y=0.168468475341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135257720947266 × 217)
    floor (0.135257720947266 × 131072)
    floor (17728.5)     		tx = 17728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.168468475341797 × 217)
    floor (0.168468475341797 × 131072)
    floor (22081.5)     		ty = 22081
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17728 / 22081 ti = "17/17728/22081"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17728/22081.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17728 ÷ 217
    17728 ÷ 131072     		x = 0.13525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22081 ÷ 217
    22081 ÷ 131072     		y = 0.168464660644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13525390625 × 2 - 1) × π
    -0.7294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29176730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.168464660644531 × 2 - 1) × π
    0.663070678710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.08309797298954
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29176730} λ = -2.29176730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08309797298954))-π/2
    2×atan(8.02930499367644)-π/2
    2×1.44689055802102-π/2
    2.89378111604205-1.57079632675     		φ = 1.32298479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29176730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.308594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32298479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.801445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17728 KachelY 22081 -2.29176730 1.32298479 -131.308594 75.801445
    Oben rechts KachelX + 1 17729 KachelY 22081 -2.29171936 1.32298479 -131.305847 75.801445
    Unten links KachelX 17728 KachelY + 1 22082 -2.29176730 1.32297303 -131.308594 75.800771
    Unten rechts KachelX + 1 17729 KachelY + 1 22082 -2.29171936 1.32297303 -131.305847 75.800771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32298479-1.32297303) × R
    1.17600000000273e-05 × 6371000     		dl = 74.922960000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32298479-1.32297303) × R
    1.17600000000273e-05 × 6371000     		dr = 74.922960000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29176730--2.29171936) × cos(1.32298479) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245282939308766 × 6371000     		do = 74.9157232477058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29176730--2.29171936) × cos(1.32297303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.245294340041862 × 6371000     		du = 74.9192053250483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32298479)-sin(1.32297303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.245282939308766-0.245294340041862)×R²
    abs(-2.29171936--2.29176730)×1.14007330962174e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.14007330962174e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.14007330962174e-05×40589641000000     		ar = 5613.03818021029m²