Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17728 / 13631
↖ ↑ ↗
← N 80.503565°
W131.308594°		 ← 50.39 m → N 80.503565°
W131.305847°		 →
↑
50.39 m
↓
↑
50.39 m
↓
N 80.503112°
W131.308594°		 ← 50.39 m →
2 539 m²		 N 80.503112°
W131.305847°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135257720947266 y=0.104000091552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135257720947266 × 217)
    floor (0.135257720947266 × 131072)
    floor (17728.5)     		tx = 17728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.104000091552734 × 217)
    floor (0.104000091552734 × 131072)
    floor (13631.5)     		ty = 13631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17728 / 13631 ti = "17/17728/13631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17728/13631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17728 ÷ 217
    17728 ÷ 131072     		x = 0.13525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13631 ÷ 217
    13631 ÷ 131072     		y = 0.103996276855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13525390625 × 2 - 1) × π
    -0.7294921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29176730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103996276855469 × 2 - 1) × π
    0.792007446289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.48816477477901
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29176730} λ = -2.29176730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48816477477901))-π/2
    2×atan(12.0391612613918)-π/2
    2×1.48792430008902-π/2
    2.97584860017803-1.57079632675     		φ = 1.40505227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29176730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.308594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40505227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.503565°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17728 KachelY 13631 -2.29176730 1.40505227 -131.308594 80.503565
    Oben rechts KachelX + 1 17729 KachelY 13631 -2.29171936 1.40505227 -131.305847 80.503565
    Unten links KachelX 17728 KachelY + 1 13632 -2.29176730 1.40504436 -131.308594 80.503112
    Unten rechts KachelX + 1 17729 KachelY + 1 13632 -2.29171936 1.40504436 -131.305847 80.503112
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40505227-1.40504436) × R
    7.91000000011088e-06 × 6371000     		dl = 50.3946100007064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40505227-1.40504436) × R
    7.91000000011088e-06 × 6371000     		dr = 50.3946100007064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29176730--2.29171936) × cos(1.40505227) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164986236735937 × 6371000     		do = 50.3910434448558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29176730--2.29171936) × cos(1.40504436) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164994038331102 × 6371000     		du = 50.3934262528321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40505227)-sin(1.40504436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164986236735937-0.164994038331102)×R²
    abs(-2.29171936--2.29176730)×7.80159516430845e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.80159516430845e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.80159516430845e-06×40589641000000     		ar = 2539.49702229911m²