Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17727 / 23105
↖ ↑ ↗
← N 75.094927°
W131.311340°		 ← 78.54 m → N 75.094927°
W131.308594°		 →
↑
78.62 m
↓
↑
78.62 m
↓
N 75.094220°
W131.311340°		 ← 78.55 m →
6 175 m²		 N 75.094220°
W131.308594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135250091552734 y=0.176280975341797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135250091552734 × 217)
    floor (0.135250091552734 × 131072)
    floor (17727.5)     		tx = 17727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.176280975341797 × 217)
    floor (0.176280975341797 × 131072)
    floor (23105.5)     		ty = 23105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17727 / 23105 ti = "17/17727/23105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17727/23105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17727 ÷ 217
    17727 ÷ 131072     		x = 0.135246276855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23105 ÷ 217
    23105 ÷ 131072     		y = 0.176277160644531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135246276855469 × 2 - 1) × π
    -0.729507446289062 × 3.1415926535     		Λ = -2.29181523
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.176277160644531 × 2 - 1) × π
    0.647445678710938 × 3.1415926535     		Φ = 2.0340105877786
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29181523} λ = -2.29181523}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0340105877786))-π/2
    2×atan(7.64468463800411)-π/2
    2×1.44072502089798-π/2
    2.88145004179595-1.57079632675     		φ = 1.31065372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29181523} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.311340°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.31065372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.094927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17727 KachelY 23105 -2.29181523 1.31065372 -131.311340 75.094927
    Oben rechts KachelX + 1 17728 KachelY 23105 -2.29176730 1.31065372 -131.308594 75.094927
    Unten links KachelX 17727 KachelY + 1 23106 -2.29181523 1.31064138 -131.311340 75.094220
    Unten rechts KachelX + 1 17728 KachelY + 1 23106 -2.29176730 1.31064138 -131.308594 75.094220
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.31065372-1.31064138) × R
    1.2339999999833e-05 × 6371000     		dl = 78.6181399989363m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.31065372-1.31064138) × R
    1.2339999999833e-05 × 6371000     		dr = 78.6181399989363m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29181523--2.29176730) × cos(1.31065372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.257218363055005 × 6371000     		do = 78.5447214958015m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29181523--2.29176730) × cos(1.31064138) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.257230287835228 × 6371000     		du = 78.5483628708975m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.31065372)-sin(1.31064138))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.257218363055005-0.257230287835228)×R²
    abs(-2.29176730--2.29181523)×1.19247802223277e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.19247802223277e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.19247802223277e-05×40589641000000     		ar = 6175.18305005079m²