Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 17725 / 13435
↖ ↑ ↗
← N 80.591972°
W131.316834°		 ← 49.93 m → N 80.591972°
W131.314087°		 →
↑
49.88 m
↓
↑
49.88 m
↓
N 80.591523°
W131.316834°		 ← 49.93 m →
2 491 m²		 N 80.591523°
W131.314087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135234832763672 y=0.102504730224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135234832763672 × 217)
    floor (0.135234832763672 × 131072)
    floor (17725.5)     		tx = 17725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102504730224609 × 217)
    floor (0.102504730224609 × 131072)
    floor (13435.5)     		ty = 13435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17725 / 13435 ti = "17/17725/13435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17725/13435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17725 ÷ 217
    17725 ÷ 131072     		x = 0.135231018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13435 ÷ 217
    13435 ÷ 131072     		y = 0.102500915527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135231018066406 × 2 - 1) × π
    -0.729537963867188 × 3.1415926535     		Λ = -2.29191111
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102500915527344 × 2 - 1) × π
    0.794998168945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.49756040710455
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29191111} λ = -2.29191111}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49756040710455))-π/2
    2×atan(12.1528098582731)-π/2
    2×1.48869579458277-π/2
    2.97739158916554-1.57079632675     		φ = 1.40659526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29191111} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.316834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40659526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.591972°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17725 KachelY 13435 -2.29191111 1.40659526 -131.316834 80.591972
    Oben rechts KachelX + 1 17726 KachelY 13435 -2.29186317 1.40659526 -131.314087 80.591972
    Unten links KachelX 17725 KachelY + 1 13436 -2.29191111 1.40658743 -131.316834 80.591523
    Unten rechts KachelX + 1 17726 KachelY + 1 13436 -2.29186317 1.40658743 -131.314087 80.591523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40659526-1.40658743) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dl = 49.8849299995601m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40659526-1.40658743) × R
    7.82999999993095e-06 × 6371000     		dr = 49.8849299995601m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29191111--2.29186317) × cos(1.40659526) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163464196275452 × 6371000     		do = 49.9261731109023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29191111--2.29186317) × cos(1.40658743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163471920951202 × 6371000     		du = 49.9285324257098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40659526)-sin(1.40658743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163464196275452-0.163471920951202)×R²
    abs(-2.29186317--2.29191111)×7.72467575083091e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.72467575083091e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.72467575083091e-06×40589641000000     		ar = 2490.62249796344m²