Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17724 / 24500
↖ ↑ ↗
← S 66.178266°
E 14.721680°		 ← 493.41 m → S 66.178266°
E 14.732666°		 →
↑
493.37 m
↓
↑
493.37 m
↓
S 66.182703°
E 14.721680°		 ← 493.32 m →
243 413 m²		 S 66.182703°
E 14.732666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17724 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540908813476562 y=0.747695922851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540908813476562 × 215)
    floor (0.540908813476562 × 32768)
    floor (17724.5)     		tx = 17724
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.747695922851562 × 215)
    floor (0.747695922851562 × 32768)
    floor (24500.5)     		ty = 24500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17724 / 24500 ti = "15/17724/24500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17724/24500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17724 ÷ 215
    17724 ÷ 32768     		x = 0.5408935546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24500 ÷ 215
    24500 ÷ 32768     		y = 0.7476806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5408935546875 × 2 - 1) × π
    0.081787109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25694178
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7476806640625 × 2 - 1) × π
    -0.495361328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5562235092655
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25694178} λ = 0.25694178}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5562235092655))-π/2
    2×atan(0.210931148482691)-π/2
    2×0.207883846246669-π/2
    0.415767692493339-1.57079632675     		φ = -1.15502863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25694178} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.721680°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15502863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.178266°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17724 KachelY 24500 0.25694178 -1.15502863 14.721680 -66.178266
    Oben rechts KachelX + 1 17725 KachelY 24500 0.25713353 -1.15502863 14.732666 -66.178266
    Unten links KachelX 17724 KachelY + 1 24501 0.25694178 -1.15510607 14.721680 -66.182703
    Unten rechts KachelX + 1 17725 KachelY + 1 24501 0.25713353 -1.15510607 14.732666 -66.182703
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15502863--1.15510607) × R
    7.74400000000952e-05 × 6371000     		dl = 493.370240000607m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15502863--1.15510607) × R
    7.74400000000952e-05 × 6371000     		dr = 493.370240000607m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25694178-0.25713353) × cos(-1.15502863) × R
    0.000191749999999991 × 0.403892343371147 × 6371000     		do = 493.410739436646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25694178-0.25713353) × cos(-1.15510607) × R
    0.000191749999999991 × 0.403821499542996 × 6371000     		du = 493.324193835557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15502863)-sin(-1.15510607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.403892343371147-0.403821499542996)×R²
    abs(0.25713353-0.25694178)×7.08438281509238e-05×R²
    0.000191749999999991×7.08438281509238e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.08438281509238e-05×40589641000000     		ar = 243412.825544311m²