Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17722 / 14546
↖ ↑ ↗
← N 80.079839°
W131.325073°		 ← 52.62 m → N 80.079839°
W131.322327°		 →
↑
52.62 m
↓
↑
52.62 m
↓
N 80.079366°
W131.325073°		 ← 52.62 m →
2 769 m²		 N 80.079366°
W131.322327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17722 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135211944580078 y=0.110980987548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135211944580078 × 217)
    floor (0.135211944580078 × 131072)
    floor (17722.5)     		tx = 17722
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110980987548828 × 217)
    floor (0.110980987548828 × 131072)
    floor (14546.5)     		ty = 14546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17722 / 14546 ti = "17/17722/14546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17722/14546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17722 ÷ 217
    17722 ÷ 131072     		x = 0.135208129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14546 ÷ 217
    14546 ÷ 131072     		y = 0.110977172851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135208129882812 × 2 - 1) × π
    -0.729583740234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.29205492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110977172851562 × 2 - 1) × π
    0.778045654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44430251162666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29205492} λ = -2.29205492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44430251162666))-π/2
    2×atan(11.5225099786522)-π/2
    2×1.48422659099394-π/2
    2.96845318198787-1.57079632675     		φ = 1.39765686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29205492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.325073°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39765686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.079839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17722 KachelY 14546 -2.29205492 1.39765686 -131.325073 80.079839
    Oben rechts KachelX + 1 17723 KachelY 14546 -2.29200698 1.39765686 -131.322327 80.079839
    Unten links KachelX 17722 KachelY + 1 14547 -2.29205492 1.39764860 -131.325073 80.079366
    Unten rechts KachelX + 1 17723 KachelY + 1 14547 -2.29200698 1.39764860 -131.322327 80.079366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39765686-1.39764860) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dl = 52.6244599998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39765686-1.39764860) × R
    8.25999999998217e-06 × 6371000     		dr = 52.6244599998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29205492--2.29200698) × cos(1.39765686) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172275720882153 × 6371000     		do = 52.6174395344305m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29205492--2.29200698) × cos(1.39764860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.172283857379102 × 6371000     		du = 52.6199246300322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39765686)-sin(1.39764860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172275720882153-0.172283857379102)×R²
    abs(-2.29200698--2.29205492)×8.13649694933472e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.13649694933472e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.13649694933472e-06×40589641000000     		ar = 2769.02973047542m²