Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1772 / 936
↖ ↑ ↗
← N 69.411243°
W 24.257813°		 ← 3 436.75 m → N 69.411243°
W 24.169922°		 →
↑
3 439.26 m
↓
↑
3 439.26 m
↓
N 69.380313°
W 24.257813°		 ← 3 441.69 m →
11 828 354 m²		 N 69.380313°
W 24.169922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1772 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4327392578125 y=0.2286376953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4327392578125 × 212)
    floor (0.4327392578125 × 4096)
    floor (1772.5)     		tx = 1772
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2286376953125 × 212)
    floor (0.2286376953125 × 4096)
    floor (936.5)     		ty = 936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1772 / 936 ti = "12/1772/936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1772/936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1772 ÷ 212
    1772 ÷ 4096     		x = 0.4326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 936 ÷ 212
    936 ÷ 4096     		y = 0.228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4326171875 × 2 - 1) × π
    -0.134765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42337870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.228515625 × 2 - 1) × π
    0.54296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.70578663608008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42337870} λ = -0.42337870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70578663608008))-π/2
    2×atan(5.50571495823276)-π/2
    2×1.39112552190334-π/2
    2.78225104380667-1.57079632675     		φ = 1.21145472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42337870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.257813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21145472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.411243°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1772 KachelY 936 -0.42337870 1.21145472 -24.257813 69.411243
    Oben rechts KachelX + 1 1773 KachelY 936 -0.42184472 1.21145472 -24.169922 69.411243
    Unten links KachelX 1772 KachelY + 1 937 -0.42337870 1.21091489 -24.257813 69.380313
    Unten rechts KachelX + 1 1773 KachelY + 1 937 -0.42184472 1.21091489 -24.169922 69.380313
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21145472-1.21091489) × R
    0.00053983000000013 × 6371000     		dl = 3439.25693000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21145472-1.21091489) × R
    0.00053983000000013 × 6371000     		dr = 3439.25693000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42337870--0.42184472) × cos(1.21145472) × R
    0.00153397999999999 × 0.351657968858022 × 6371000     		do = 3436.74861039948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42337870--0.42184472) × cos(1.21091489) × R
    0.00153397999999999 × 0.352163267872288 × 6371000     		du = 3441.6868908848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21145472)-sin(1.21091489))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.351657968858022-0.352163267872288)×R²
    abs(-0.42184472--0.42337870)×0.000505299014266491×R²
    0.00153397999999999×0.000505299014266491×6371000²
    0.00153397999999999×0.000505299014266491×40589641000000     		ar = 11828353.7699244m²