Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17718 / 13463
↖ ↑ ↗
← N 80.579393°
W131.336060°		 ← 49.99 m → N 80.579393°
W131.333313°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.578943°
W131.336060°		 ← 49.99 m →
2 500 m²		 N 80.578943°
W131.333313°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13463 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135181427001953 y=0.102718353271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135181427001953 × 217)
    floor (0.135181427001953 × 131072)
    floor (17718.5)     		tx = 17718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102718353271484 × 217)
    floor (0.102718353271484 × 131072)
    floor (13463.5)     		ty = 13463
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17718 / 13463 ti = "17/17718/13463"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17718/13463.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17718 ÷ 217
    17718 ÷ 131072     		x = 0.135177612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13463 ÷ 217
    13463 ÷ 131072     		y = 0.102714538574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135177612304688 × 2 - 1) × π
    -0.729644775390625 × 3.1415926535     		Λ = -2.29224667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102714538574219 × 2 - 1) × π
    0.794570922851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.49621817391518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29224667} λ = -2.29224667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49621817391518))-π/2
    2×atan(12.136508895831)-π/2
    2×1.48858601838483-π/2
    2.97717203676965-1.57079632675     		φ = 1.40637571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29224667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.336060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40637571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.579393°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17718 KachelY 13463 -2.29224667 1.40637571 -131.336060 80.579393
    Oben rechts KachelX + 1 17719 KachelY 13463 -2.29219873 1.40637571 -131.333313 80.579393
    Unten links KachelX 17718 KachelY + 1 13464 -2.29224667 1.40636786 -131.336060 80.578943
    Unten rechts KachelX + 1 17719 KachelY + 1 13464 -2.29219873 1.40636786 -131.333313 80.578943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40637571-1.40636786) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dl = 50.0123500002003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40637571-1.40636786) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dr = 50.0123500002003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29224667--2.29219873) × cos(1.40637571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16368078922565 × 6371000     		do = 49.9923261729953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29224667--2.29219873) × cos(1.40636786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.163688533350442 × 6371000     		du = 49.9946914280405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40637571)-sin(1.40636786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16368078922565-0.163688533350442)×R²
    abs(-2.29219873--2.29224667)×7.74412479206954e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.74412479206954e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.74412479206954e-06×40589641000000     		ar = 2500.29285976133m²