Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17715 / 24110
↖ ↑ ↗
← S 64.387441°
E 14.622803°		 ← 528.09 m → S 64.387441°
E 14.633789°		 →
↑
528.03 m
↓
↑
528.03 m
↓
S 64.392190°
E 14.622803°		 ← 528 m →
278 825 m²		 S 64.392190°
E 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540634155273438 y=0.735794067382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540634155273438 × 215)
    floor (0.540634155273438 × 32768)
    floor (17715.5)     		tx = 17715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735794067382812 × 215)
    floor (0.735794067382812 × 32768)
    floor (24110.5)     		ty = 24110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17715 / 24110 ti = "15/17715/24110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17715/24110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17715 ÷ 215
    17715 ÷ 32768     		x = 0.540618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24110 ÷ 215
    24110 ÷ 32768     		y = 0.73577880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540618896484375 × 2 - 1) × π
    0.08123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25521605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73577880859375 × 2 - 1) × π
    -0.4715576171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48144194585822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25521605} λ = 0.25521605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48144194585822))-π/2
    2×atan(0.227309683701203)-π/2
    2×0.223511742139689-π/2
    0.447023484279378-1.57079632675     		φ = -1.12377284
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25521605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12377284 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.387441°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17715 KachelY 24110 0.25521605 -1.12377284 14.622803 -64.387441
    Oben rechts KachelX + 1 17716 KachelY 24110 0.25540780 -1.12377284 14.633789 -64.387441
    Unten links KachelX 17715 KachelY + 1 24111 0.25521605 -1.12385572 14.622803 -64.392190
    Unten rechts KachelX + 1 17716 KachelY + 1 24111 0.25540780 -1.12385572 14.633789 -64.392190
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12377284--1.12385572) × R
    8.28799999998964e-05 × 6371000     		dl = 528.02847999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12377284--1.12385572) × R
    8.28799999998964e-05 × 6371000     		dr = 528.02847999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25521605-0.25540780) × cos(-1.12377284) × R
    0.000191749999999991 × 0.432283418562553 × 6371000     		do = 528.094391240167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25521605-0.25540780) × cos(-1.12385572) × R
    0.000191749999999991 × 0.432208681049716 × 6371000     		du = 528.003088961039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12377284)-sin(-1.12385572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.432283418562553-0.432208681049716)×R²
    abs(0.25540780-0.25521605)×7.47375128367644e-05×R²
    0.000191749999999991×7.47375128367644e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.47375128367644e-05×40589641000000     		ar = 278824.773760577m²