Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17715 / 23978
↖ ↑ ↗
← S 63.753350°
E 14.622803°		 ← 540.25 m → S 63.753350°
E 14.633789°		 →
↑
540.20 m
↓
↑
540.20 m
↓
S 63.758208°
E 14.622803°		 ← 540.16 m →
291 818 m²		 S 63.758208°
E 14.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540634155273438 y=0.731765747070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540634155273438 × 215)
    floor (0.540634155273438 × 32768)
    floor (17715.5)     		tx = 17715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731765747070312 × 215)
    floor (0.731765747070312 × 32768)
    floor (23978.5)     		ty = 23978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17715 / 23978 ti = "15/17715/23978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17715/23978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17715 ÷ 215
    17715 ÷ 32768     		x = 0.540618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23978 ÷ 215
    23978 ÷ 32768     		y = 0.73175048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540618896484375 × 2 - 1) × π
    0.08123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25521605
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73175048828125 × 2 - 1) × π
    -0.4635009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.45613126285883
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25521605} λ = 0.25521605}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45613126285883))-π/2
    2×atan(0.23313647602965)-π/2
    2×0.229045232234336-π/2
    0.458090464468672-1.57079632675     		φ = -1.11270586
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25521605} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11270586 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.753350°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17715 KachelY 23978 0.25521605 -1.11270586 14.622803 -63.753350
    Oben rechts KachelX + 1 17716 KachelY 23978 0.25540780 -1.11270586 14.633789 -63.753350
    Unten links KachelX 17715 KachelY + 1 23979 0.25521605 -1.11279065 14.622803 -63.758208
    Unten rechts KachelX + 1 17716 KachelY + 1 23979 0.25540780 -1.11279065 14.633789 -63.758208
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11270586--1.11279065) × R
    8.47900000000568e-05 × 6371000     		dl = 540.197090000362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11270586--1.11279065) × R
    8.47900000000568e-05 × 6371000     		dr = 540.197090000362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25521605-0.25540780) × cos(-1.11270586) × R
    0.000191749999999991 × 0.44223625662028 × 6371000     		do = 540.25316886038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25521605-0.25540780) × cos(-1.11279065) × R
    0.000191749999999991 × 0.442160206998636 × 6371000     		du = 540.160263657631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11270586)-sin(-1.11279065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44223625662028-0.442160206998636)×R²
    abs(0.25540780-0.25521605)×7.60496216443141e-05×R²
    0.000191749999999991×7.60496216443141e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.60496216443141e-05×40589641000000     		ar = 291818.096296529m²