Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17714 / 13452
↖ ↑ ↗
← N 80.584337°
W131.347046°		 ← 49.96 m → N 80.584337°
W131.344300°		 →
↑
50.01 m
↓
↑
50.01 m
↓
N 80.583887°
W131.347046°		 ← 49.96 m →
2 498 m²		 N 80.583887°
W131.344300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135150909423828 y=0.102634429931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135150909423828 × 217)
    floor (0.135150909423828 × 131072)
    floor (17714.5)     		tx = 17714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.102634429931641 × 217)
    floor (0.102634429931641 × 131072)
    floor (13452.5)     		ty = 13452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17714 / 13452 ti = "17/17714/13452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17714/13452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17714 ÷ 217
    17714 ÷ 131072     		x = 0.135147094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13452 ÷ 217
    13452 ÷ 131072     		y = 0.102630615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135147094726562 × 2 - 1) × π
    -0.729705810546875 × 3.1415926535     		Λ = -2.29243841
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.102630615234375 × 2 - 1) × π
    0.79473876953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.496745479811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29243841} λ = -2.29243841}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.496745479811))-π/2
    2×atan(12.1429102361104)-π/2
    2×1.48862916208485-π/2
    2.9772583241697-1.57079632675     		φ = 1.40646200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29243841} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.347046°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40646200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.584337°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17714 KachelY 13452 -2.29243841 1.40646200 -131.347046 80.584337
    Oben rechts KachelX + 1 17715 KachelY 13452 -2.29239048 1.40646200 -131.344300 80.584337
    Unten links KachelX 17714 KachelY + 1 13453 -2.29243841 1.40645415 -131.347046 80.583887
    Unten rechts KachelX + 1 17715 KachelY + 1 13453 -2.29239048 1.40645415 -131.344300 80.583887
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40646200-1.40645415) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dl = 50.0123500002003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40646200-1.40645415) × R
    7.85000000003144e-06 × 6371000     		dr = 50.0123500002003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29243841--2.29239048) × cos(1.40646200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163595662378987 × 6371000     		do = 49.9559035632727m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29243841--2.29239048) × cos(1.40645415) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.163603406614626 × 6371000     		du = 49.9582683587884m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40646200)-sin(1.40645415))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.163595662378987-0.163603406614626)×R²
    abs(-2.29239048--2.29243841)×7.74423563940085e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.74423563940085e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.74423563940085e-06×40589641000000     		ar = 2498.47126810946m²