Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17713 / 23979
↖ ↑ ↗
← S 63.758208°
E 14.600830°		 ← 540.16 m → S 63.758208°
E 14.611817°		 →
↑
540.13 m
↓
↑
540.13 m
↓
S 63.763065°
E 14.600830°		 ← 540.07 m →
291 734 m²		 S 63.763065°
E 14.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540573120117188 y=0.731796264648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540573120117188 × 215)
    floor (0.540573120117188 × 32768)
    floor (17713.5)     		tx = 17713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731796264648438 × 215)
    floor (0.731796264648438 × 32768)
    floor (23979.5)     		ty = 23979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17713 / 23979 ti = "15/17713/23979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17713/23979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17713 ÷ 215
    17713 ÷ 32768     		x = 0.540557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23979 ÷ 215
    23979 ÷ 32768     		y = 0.731781005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540557861328125 × 2 - 1) × π
    0.08111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.25483256
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731781005859375 × 2 - 1) × π
    -0.46356201171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45632301045731
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25483256} λ = 0.25483256}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45632301045731))-π/2
    2×atan(0.23309177695586)-π/2
    2×0.229002837010134-π/2
    0.458005674020267-1.57079632675     		φ = -1.11279065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25483256} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.600830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11279065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.758208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17713 KachelY 23979 0.25483256 -1.11279065 14.600830 -63.758208
    Oben rechts KachelX + 1 17714 KachelY 23979 0.25502431 -1.11279065 14.611817 -63.758208
    Unten links KachelX 17713 KachelY + 1 23980 0.25483256 -1.11287543 14.600830 -63.763065
    Unten rechts KachelX + 1 17714 KachelY + 1 23980 0.25502431 -1.11287543 14.611817 -63.763065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11279065--1.11287543) × R
    8.47800000001175e-05 × 6371000     		dl = 540.133380000749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11279065--1.11287543) × R
    8.47800000001175e-05 × 6371000     		dr = 540.133380000749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25483256-0.25502431) × cos(-1.11279065) × R
    0.000191749999999991 × 0.442160206998636 × 6371000     		do = 540.160263657631m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25483256-0.25502431) × cos(-1.11287543) × R
    0.000191749999999991 × 0.442084163167885 × 6371000     		du = 540.067365529266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11279065)-sin(-1.11287543))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442160206998636-0.442084163167885)×R²
    abs(0.25502431-0.25483256)×7.60438307504385e-05×R²
    0.000191749999999991×7.60438307504385e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.60438307504385e-05×40589641000000     		ar = 291733.500436181m²