Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17713 / 13519
↖ ↑ ↗
← N 80.554184°
W131.349792°		 ← 50.12 m → N 80.554184°
W131.347046°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.553733°
W131.349792°		 ← 50.13 m →
2 513 m²		 N 80.553733°
W131.347046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135143280029297 y=0.103145599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135143280029297 × 217)
    floor (0.135143280029297 × 131072)
    floor (17713.5)     		tx = 17713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103145599365234 × 217)
    floor (0.103145599365234 × 131072)
    floor (13519.5)     		ty = 13519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17713 / 13519 ti = "17/17713/13519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17713/13519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17713 ÷ 217
    17713 ÷ 131072     		x = 0.135139465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13519 ÷ 217
    13519 ÷ 131072     		y = 0.103141784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.135139465332031 × 2 - 1) × π
    -0.729721069335938 × 3.1415926535     		Λ = -2.29248635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103141784667969 × 2 - 1) × π
    0.793716430664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.49353370753646
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29248635} λ = -2.29248635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49353370753646))-π/2
    2×atan(12.1039725366653)-π/2
    2×1.48836602943851-π/2
    2.97673205887702-1.57079632675     		φ = 1.40593573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29248635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.349792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40593573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.554184°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17713 KachelY 13519 -2.29248635 1.40593573 -131.349792 80.554184
    Oben rechts KachelX + 1 17714 KachelY 13519 -2.29243841 1.40593573 -131.347046 80.554184
    Unten links KachelX 17713 KachelY + 1 13520 -2.29248635 1.40592786 -131.349792 80.553733
    Unten rechts KachelX + 1 17714 KachelY + 1 13520 -2.29243841 1.40592786 -131.347046 80.553733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40593573-1.40592786) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dl = 50.1397699994259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40593573-1.40592786) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dr = 50.1397699994259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29248635--2.29243841) × cos(1.40593573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16411481951464 × 6371000     		do = 50.1248901951924m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29248635--2.29243841) × cos(1.40592786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16412258280214 × 6371000     		du = 50.127261303022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40593573)-sin(1.40592786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16411481951464-0.16412258280214)×R²
    abs(-2.29243841--2.29248635)×7.76328750035082e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.76328750035082e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.76328750035082e-06×40589641000000     		ar = 2513.30990894527m²