Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17712 / 24078
↖ ↑ ↗
← S 64.235046°
E 14.589844°		 ← 531.02 m → S 64.235046°
E 14.600830°		 →
↑
530.96 m
↓
↑
530.96 m
↓
S 64.239821°
E 14.589844°		 ← 530.93 m →
281 927 m²		 S 64.239821°
E 14.600830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24078 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540542602539062 y=0.734817504882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540542602539062 × 215)
    floor (0.540542602539062 × 32768)
    floor (17712.5)     		tx = 17712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734817504882812 × 215)
    floor (0.734817504882812 × 32768)
    floor (24078.5)     		ty = 24078
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17712 / 24078 ti = "15/17712/24078"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17712/24078.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17712 ÷ 215
    17712 ÷ 32768     		x = 0.54052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24078 ÷ 215
    24078 ÷ 32768     		y = 0.73480224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54052734375 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73480224609375 × 2 - 1) × π
    -0.4696044921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.47530602270685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25464081} λ = 0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47530602270685))-π/2
    2×atan(0.228708726271362)-π/2
    2×0.224841645269178-π/2
    0.449683290538356-1.57079632675     		φ = -1.12111304
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12111304 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.235046°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17712 KachelY 24078 0.25464081 -1.12111304 14.589844 -64.235046
    Oben rechts KachelX + 1 17713 KachelY 24078 0.25483256 -1.12111304 14.600830 -64.235046
    Unten links KachelX 17712 KachelY + 1 24079 0.25464081 -1.12119638 14.589844 -64.239821
    Unten rechts KachelX + 1 17713 KachelY + 1 24079 0.25483256 -1.12119638 14.600830 -64.239821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12111304--1.12119638) × R
    8.33399999999873e-05 × 6371000     		dl = 530.959139999919m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12111304--1.12119638) × R
    8.33399999999873e-05 × 6371000     		dr = 530.959139999919m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25464081-0.25483256) × cos(-1.12111304) × R
    0.000191749999999991 × 0.434680328813087 × 6371000     		do = 531.022550880946m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25464081-0.25483256) × cos(-1.12119638) × R
    0.000191749999999991 × 0.434605272565017 × 6371000     		du = 530.930859222346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12111304)-sin(-1.12119638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.434680328813087-0.434605272565017)×R²
    abs(0.25483256-0.25464081)×7.50562480699157e-05×R²
    0.000191749999999991×7.50562480699157e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.50562480699157e-05×40589641000000     		ar = 281926.934838016m²