Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17712 / 23984
↖ ↑ ↗
← S 63.782486°
E 14.589844°		 ← 539.70 m → S 63.782486°
E 14.600830°		 →
↑
539.62 m
↓
↑
539.62 m
↓
S 63.787339°
E 14.589844°		 ← 539.60 m →
291 208 m²		 S 63.787339°
E 14.600830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540542602539062 y=0.731948852539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540542602539062 × 215)
    floor (0.540542602539062 × 32768)
    floor (17712.5)     		tx = 17712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731948852539062 × 215)
    floor (0.731948852539062 × 32768)
    floor (23984.5)     		ty = 23984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17712 / 23984 ti = "15/17712/23984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17712/23984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17712 ÷ 215
    17712 ÷ 32768     		x = 0.54052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23984 ÷ 215
    23984 ÷ 32768     		y = 0.73193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54052734375 × 2 - 1) × π
    0.0810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.25464081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73193359375 × 2 - 1) × π
    -0.4638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.45728174844971
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25464081} λ = 0.25464081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45728174844971))-π/2
    2×atan(0.232868410105829)-π/2
    2×0.228790970231089-π/2
    0.457581940462178-1.57079632675     		φ = -1.11321439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25464081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11321439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.782486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17712 KachelY 23984 0.25464081 -1.11321439 14.589844 -63.782486
    Oben rechts KachelX + 1 17713 KachelY 23984 0.25483256 -1.11321439 14.600830 -63.782486
    Unten links KachelX 17712 KachelY + 1 23985 0.25464081 -1.11329909 14.589844 -63.787339
    Unten rechts KachelX + 1 17713 KachelY + 1 23985 0.25483256 -1.11329909 14.600830 -63.787339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11321439--1.11329909) × R
    8.46999999999376e-05 × 6371000     		dl = 539.623699999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11321439--1.11329909) × R
    8.46999999999376e-05 × 6371000     		dr = 539.623699999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25464081-0.25483256) × cos(-1.11321439) × R
    0.000191749999999991 × 0.44178009961464 × 6371000     		do = 539.695909558127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25464081-0.25483256) × cos(-1.11329909) × R
    0.000191749999999991 × 0.441704111680485 × 6371000     		du = 539.603079715237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11321439)-sin(-1.11329909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44178009961464-0.441704111680485)×R²
    abs(0.25483256-0.25464081)×7.59879341551972e-05×R²
    0.000191749999999991×7.59879341551972e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.59879341551972e-05×40589641000000     		ar = 291207.657173036m²