Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 17712 / 13520
↖ ↑ ↗
← N 80.553733°
W131.352539°		 ← 50.13 m → N 80.553733°
W131.349792°		 →
↑
50.08 m
↓
↑
50.08 m
↓
N 80.553282°
W131.352539°		 ← 50.13 m →
2 510 m²		 N 80.553282°
W131.349792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.135135650634766 y=0.103153228759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.135135650634766 × 217)
    floor (0.135135650634766 × 131072)
    floor (17712.5)     		tx = 17712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103153228759766 × 217)
    floor (0.103153228759766 × 131072)
    floor (13520.5)     		ty = 13520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 17712 / 13520 ti = "17/17712/13520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/17712/13520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17712 ÷ 217
    17712 ÷ 131072     		x = 0.1351318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13520 ÷ 217
    13520 ÷ 131072     		y = 0.1031494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.729736328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.29253429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1031494140625 × 2 - 1) × π
    0.793701171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.49348577063684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.29253429} λ = -2.29253429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49348577063684))-π/2
    2×atan(12.1033923236557)-π/2
    2×1.48836209576774-π/2
    2.97672419153548-1.57079632675     		φ = 1.40592786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.29253429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -131.352539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40592786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.553733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17712 KachelY 13520 -2.29253429 1.40592786 -131.352539 80.553733
    Oben rechts KachelX + 1 17713 KachelY 13520 -2.29248635 1.40592786 -131.349792 80.553733
    Unten links KachelX 17712 KachelY + 1 13521 -2.29253429 1.40592000 -131.352539 80.553282
    Unten rechts KachelX + 1 17713 KachelY + 1 13521 -2.29248635 1.40592000 -131.349792 80.553282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40592786-1.40592000) × R
    7.85999999997067e-06 × 6371000     		dl = 50.0760599998131m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40592786-1.40592000) × R
    7.85999999997067e-06 × 6371000     		dr = 50.0760599998131m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.29253429--2.29248635) × cos(1.40592786) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16412258280214 × 6371000     		do = 50.127261303022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.29253429--2.29248635) × cos(1.40592000) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164130336215089 × 6371000     		du = 50.1296293949094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40592786)-sin(1.40592000))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16412258280214-0.164130336215089)×R²
    abs(-2.29248635--2.29253429)×7.75341294856347e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.75341294856347e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.75341294856347e-06×40589641000000     		ar = 2510.23503703902m²