Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17711 / 24206
↖ ↑ ↗
← S 64.839597°
E 14.578857°		 ← 519.38 m → S 64.839597°
E 14.589844°		 →
↑
519.30 m
↓
↑
519.30 m
↓
S 64.844268°
E 14.578857°		 ← 519.29 m →
269 693 m²		 S 64.844268°
E 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540512084960938 y=0.738723754882812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540512084960938 × 215)
    floor (0.540512084960938 × 32768)
    floor (17711.5)     		tx = 17711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738723754882812 × 215)
    floor (0.738723754882812 × 32768)
    floor (24206.5)     		ty = 24206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17711 / 24206 ti = "15/17711/24206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17711/24206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17711 ÷ 215
    17711 ÷ 32768     		x = 0.540496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24206 ÷ 215
    24206 ÷ 32768     		y = 0.73870849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540496826171875 × 2 - 1) × π
    0.08099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25444906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73870849609375 × 2 - 1) × π
    -0.4774169921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49984971531232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25444906} λ = 0.25444906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49984971531232))-π/2
    2×atan(0.223163695714738)-π/2
    2×0.219565935657276-π/2
    0.439131871314552-1.57079632675     		φ = -1.13166446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25444906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13166446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.839597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17711 KachelY 24206 0.25444906 -1.13166446 14.578857 -64.839597
    Oben rechts KachelX + 1 17712 KachelY 24206 0.25464081 -1.13166446 14.589844 -64.839597
    Unten links KachelX 17711 KachelY + 1 24207 0.25444906 -1.13174597 14.578857 -64.844268
    Unten rechts KachelX + 1 17712 KachelY + 1 24207 0.25464081 -1.13174597 14.589844 -64.844268
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13166446--1.13174597) × R
    8.15100000000069e-05 × 6371000     		dl = 519.300210000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13166446--1.13174597) × R
    8.15100000000069e-05 × 6371000     		dr = 519.300210000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25444906-0.25464081) × cos(-1.13166446) × R
    0.000191749999999991 × 0.425153859697695 × 6371000     		do = 519.384642295672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25444906-0.25464081) × cos(-1.13174597) × R
    0.000191749999999991 × 0.425080081865034 × 6371000     		du = 519.294512399514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13166446)-sin(-1.13174597))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425153859697695-0.425080081865034)×R²
    abs(0.25464081-0.25444906)×7.37778326610483e-05×R²
    0.000191749999999991×7.37778326610483e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.37778326610483e-05×40589641000000     		ar = 269693.151727235m²