Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17711 / 19053
↖ ↑ ↗
← S 28.120439°
E 14.578857°		 ← 1 077.44 m → S 28.120439°
E 14.589844°		 →
↑
1 077.40 m
↓
↑
1 077.40 m
↓
S 28.130128°
E 14.578857°		 ← 1 077.34 m →
1 160 776 m²		 S 28.130128°
E 14.589844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19053 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540512084960938 y=0.581466674804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540512084960938 × 215)
    floor (0.540512084960938 × 32768)
    floor (17711.5)     		tx = 17711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581466674804688 × 215)
    floor (0.581466674804688 × 32768)
    floor (19053.5)     		ty = 19053
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17711 / 19053 ti = "15/17711/19053"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17711/19053.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17711 ÷ 215
    17711 ÷ 32768     		x = 0.540496826171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19053 ÷ 215
    19053 ÷ 32768     		y = 0.581451416015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540496826171875 × 2 - 1) × π
    0.08099365234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.25444906
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581451416015625 × 2 - 1) × π
    -0.16290283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.511774340343719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25444906} λ = 0.25444906}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.511774340343719))-π/2
    2×atan(0.599431039986936)-π/2
    2×0.540001042306346-π/2
    1.08000208461269-1.57079632675     		φ = -0.49079424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25444906} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.578857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49079424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.120439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17711 KachelY 19053 0.25444906 -0.49079424 14.578857 -28.120439
    Oben rechts KachelX + 1 17712 KachelY 19053 0.25464081 -0.49079424 14.589844 -28.120439
    Unten links KachelX 17711 KachelY + 1 19054 0.25444906 -0.49096335 14.578857 -28.130128
    Unten rechts KachelX + 1 17712 KachelY + 1 19054 0.25464081 -0.49096335 14.589844 -28.130128
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49079424--0.49096335) × R
    0.000169110000000028 × 6371000     		dl = 1077.39981000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49079424--0.49096335) × R
    0.000169110000000028 × 6371000     		dr = 1077.39981000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25444906-0.25464081) × cos(-0.49079424) × R
    0.000191749999999991 × 0.881958790448652 × 6371000     		do = 1077.43547529455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25444906-0.25464081) × cos(-0.49096335) × R
    0.000191749999999991 × 0.881879071809394 × 6371000     		du = 1077.33808787587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49079424)-sin(-0.49096335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.881958790448652-0.881879071809394)×R²
    abs(0.25464081-0.25444906)×7.97186392577087e-05×R²
    0.000191749999999991×7.97186392577087e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.97186392577087e-05×40589641000000     		ar = 1160776.31654294m²