Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1771 / 2675
↖ ↑ ↗
← S 48.166086°
W 24.345703°		 ← 6 518.32 m → S 48.166086°
W 24.257813°		 →
↑
6 514.60 m
↓
↑
6 514.60 m
↓
S 48.224673°
W 24.345703°		 ← 6 510.87 m →
42 440 029 m²		 S 48.224673°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2675 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4324951171875 y=0.6531982421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4324951171875 × 212)
    floor (0.4324951171875 × 4096)
    floor (1771.5)     		tx = 1771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6531982421875 × 212)
    floor (0.6531982421875 × 4096)
    floor (2675.5)     		ty = 2675
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1771 / 2675 ti = "12/1771/2675"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1771/2675.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1771 ÷ 212
    1771 ÷ 4096     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2675 ÷ 212
    2675 ÷ 4096     		y = 0.653076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653076171875 × 2 - 1) × π
    -0.30615234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.961805953976807
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.961805953976807))-π/2
    2×atan(0.382202023066072)-π/2
    2×0.365069774227315-π/2
    0.730139548454631-1.57079632675     		φ = -0.84065678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84065678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.166086°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1771 KachelY 2675 -0.42491268 -0.84065678 -24.345703 -48.166086
    Oben rechts KachelX + 1 1772 KachelY 2675 -0.42337870 -0.84065678 -24.257813 -48.166086
    Unten links KachelX 1771 KachelY + 1 2676 -0.42491268 -0.84167932 -24.345703 -48.224673
    Unten rechts KachelX + 1 1772 KachelY + 1 2676 -0.42337870 -0.84167932 -24.257813 -48.224673
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84065678--0.84167932) × R
    0.00102254000000002 × 6371000     		dl = 6514.6023400001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84065678--0.84167932) × R
    0.00102254000000002 × 6371000     		dr = 6514.6023400001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42337870) × cos(-0.84065678) × R
    0.00153397999999999 × 0.666973615209768 × 6371000     		do = 6518.3241906591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42337870) × cos(-0.84167932) × R
    0.00153397999999999 × 0.666211391183872 × 6371000     		du = 6510.87498548307m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84065678)-sin(-0.84167932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666973615209768-0.666211391183872)×R²
    abs(-0.42337870--0.42491268)×0.000762224025896208×R²
    0.00153397999999999×0.000762224025896208×6371000²
    0.00153397999999999×0.000762224025896208×40589641000000     		ar = 42440029.4185069m²