Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1771 / 1397
↖ ↑ ↗
← N 49.553726°
W 24.345703°		 ← 6 340.08 m → N 49.553726°
W 24.257813°		 →
↑
6 343.80 m
↓
↑
6 343.80 m
↓
N 49.496675°
W 24.345703°		 ← 6 347.48 m →
40 243 630 m²		 N 49.496675°
W 24.257813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4324951171875 y=0.3411865234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4324951171875 × 212)
    floor (0.4324951171875 × 4096)
    floor (1771.5)     		tx = 1771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.3411865234375 × 212)
    floor (0.3411865234375 × 4096)
    floor (1397.5)     		ty = 1397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1771 / 1397 ti = "12/1771/1397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1771/1397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1771 ÷ 212
    1771 ÷ 4096     		x = 0.432373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1397 ÷ 212
    1397 ÷ 4096     		y = 0.341064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.432373046875 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.42491268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341064453125 × 2 - 1) × π
    0.31787109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.99862149288501
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.42491268} λ = -0.42491268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.99862149288501))-π/2
    2×atan(2.71453723918243)-π/2
    2×1.21783599680803-π/2
    2.43567199361605-1.57079632675     		φ = 0.86487567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.42491268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -24.345703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86487567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.553726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1771 KachelY 1397 -0.42491268 0.86487567 -24.345703 49.553726
    Oben rechts KachelX + 1 1772 KachelY 1397 -0.42337870 0.86487567 -24.257813 49.553726
    Unten links KachelX 1771 KachelY + 1 1398 -0.42491268 0.86387994 -24.345703 49.496675
    Unten rechts KachelX + 1 1772 KachelY + 1 1398 -0.42337870 0.86387994 -24.257813 49.496675
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86487567-0.86387994) × R
    0.000995729999999972 × 6371000     		dl = 6343.79582999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86487567-0.86387994) × R
    0.000995729999999972 × 6371000     		dr = 6343.79582999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.42491268--0.42337870) × cos(0.86487567) × R
    0.00153397999999999 × 0.648734737647142 × 6371000     		do = 6340.0758850053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.42491268--0.42337870) × cos(0.86387994) × R
    0.00153397999999999 × 0.649492180998693 × 6371000     		du = 6347.47836871512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86487567)-sin(0.86387994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.648734737647142-0.649492180998693)×R²
    abs(-0.42337870--0.42491268)×0.000757443351551812×R²
    0.00153397999999999×0.000757443351551812×6371000²
    0.00153397999999999×0.000757443351551812×40589641000000     		ar = 40243630.2088805m²