Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1771 / 1384
↖ ↑ ↗
← N 75.758940°
W102.172852°		 ← 1 202.09 m → N 75.758940°
W102.128907°		 →
↑
1 202.53 m
↓
↑
1 202.53 m
↓
N 75.748125°
W102.172852°		 ← 1 202.98 m →
1 446 079 m²		 N 75.748125°
W102.128907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1384 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21624755859375 y=0.16900634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21624755859375 × 213)
    floor (0.21624755859375 × 8192)
    floor (1771.5)     		tx = 1771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.16900634765625 × 213)
    floor (0.16900634765625 × 8192)
    floor (1384.5)     		ty = 1384
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1771 / 1384 ti = "13/1771/1384"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1771/1384.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1771 ÷ 213
    1771 ÷ 8192     		x = 0.2161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1384 ÷ 213
    1384 ÷ 8192     		y = 0.1689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78325267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1689453125 × 2 - 1) × π
    0.662109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.08007794831348
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78325267} λ = -1.78325267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.08007794831348))-π/2
    2×atan(8.00509287346647)-π/2
    2×1.44651963506606-π/2
    2.89303927013213-1.57079632675     		φ = 1.32224294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78325267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32224294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.758940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1771 KachelY 1384 -1.78325267 1.32224294 -102.172852 75.758940
    Oben rechts KachelX + 1 1772 KachelY 1384 -1.78248568 1.32224294 -102.128907 75.758940
    Unten links KachelX 1771 KachelY + 1 1385 -1.78325267 1.32205419 -102.172852 75.748125
    Unten rechts KachelX + 1 1772 KachelY + 1 1385 -1.78248568 1.32205419 -102.128907 75.748125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32224294-1.32205419) × R
    0.00018874999999996 × 6371000     		dl = 1202.52624999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32224294-1.32205419) × R
    0.00018874999999996 × 6371000     		dr = 1202.52624999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78325267--1.78248568) × cos(1.32224294) × R
    0.000766990000000023 × 0.246002059369733 × 6371000     		do = 1202.08741243642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78325267--1.78248568) × cos(1.32205419) × R
    0.000766990000000023 × 0.246185004567975 × 6371000     		du = 1202.98137292007m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32224294)-sin(1.32205419))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.246002059369733-0.246185004567975)×R²
    abs(-1.78248568--1.78325267)×0.000182945198242523×R²
    0.000766990000000023×0.000182945198242523×6371000²
    0.000766990000000023×0.000182945198242523×40589641000000     		ar = 1446079.17801394m²