Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 1771 / 1306
↖ ↑ ↗
← N 76.578159°
W102.172852°		 ← 1 134.25 m → N 76.578159°
W102.128907°		 →
↑
1 134.68 m
↓
↑
1 134.68 m
↓
N 76.567955°
W102.172852°		 ← 1 135.09 m →
1 287 482 m²		 N 76.567955°
W102.128907°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1771 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.21624755859375 y=0.15948486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.21624755859375 × 213)
    floor (0.21624755859375 × 8192)
    floor (1771.5)     		tx = 1771
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15948486328125 × 213)
    floor (0.15948486328125 × 8192)
    floor (1306.5)     		ty = 1306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 1771 / 1306 ti = "13/1771/1306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/1771/1306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1771 ÷ 213
    1771 ÷ 8192     		x = 0.2161865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1306 ÷ 213
    1306 ÷ 8192     		y = 0.159423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2161865234375 × 2 - 1) × π
    -0.567626953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.78325267
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.159423828125 × 2 - 1) × π
    0.68115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.13990319903931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.78325267} λ = -1.78325267}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.13990319903931))-π/2
    2×atan(8.49861491497868)-π/2
    2×1.45366867017784-π/2
    2.90733734035567-1.57079632675     		φ = 1.33654101
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.78325267} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -102.172852°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33654101 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.578159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1771 KachelY 1306 -1.78325267 1.33654101 -102.172852 76.578159
    Oben rechts KachelX + 1 1772 KachelY 1306 -1.78248568 1.33654101 -102.128907 76.578159
    Unten links KachelX 1771 KachelY + 1 1307 -1.78325267 1.33636291 -102.172852 76.567955
    Unten rechts KachelX + 1 1772 KachelY + 1 1307 -1.78248568 1.33636291 -102.128907 76.567955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33654101-1.33636291) × R
    0.000178099999999848 × 6371000     		dl = 1134.67509999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33654101-1.33636291) × R
    0.000178099999999848 × 6371000     		dr = 1134.67509999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.78325267--1.78248568) × cos(1.33654101) × R
    0.000766990000000023 × 0.232118705920746 × 6371000     		do = 1134.24649896524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.78325267--1.78248568) × cos(1.33636291) × R
    0.000766990000000023 × 0.232291937876154 × 6371000     		du = 1135.09299575296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33654101)-sin(1.33636291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.232118705920746-0.232291937876154)×R²
    abs(-1.78248568--1.78325267)×0.000173231955407305×R²
    0.000766990000000023×0.000173231955407305×6371000²
    0.000766990000000023×0.000173231955407305×40589641000000     		ar = 1287481.51245392m²