Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17701 / 23967
↖ ↑ ↗
← S 63.699855°
E 14.468994°		 ← 541.25 m → S 63.699855°
E 14.479980°		 →
↑
541.28 m
↓
↑
541.28 m
↓
S 63.704723°
E 14.468994°		 ← 541.15 m →
292 941 m²		 S 63.704723°
E 14.479980°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540206909179688 y=0.731430053710938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540206909179688 × 215)
    floor (0.540206909179688 × 32768)
    floor (17701.5)     		tx = 17701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731430053710938 × 215)
    floor (0.731430053710938 × 32768)
    floor (23967.5)     		ty = 23967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17701 / 23967 ti = "15/17701/23967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17701/23967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17701 ÷ 215
    17701 ÷ 32768     		x = 0.540191650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23967 ÷ 215
    23967 ÷ 32768     		y = 0.731414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.540191650390625 × 2 - 1) × π
    0.08038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25253159
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.731414794921875 × 2 - 1) × π
    -0.46282958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.45402203927554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25253159} λ = 0.25253159}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45402203927554))-π/2
    2×atan(0.233628731939406)-π/2
    2×0.229512061160177-π/2
    0.459024122320355-1.57079632675     		φ = -1.11177220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25253159} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.468994°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11177220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.699855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17701 KachelY 23967 0.25253159 -1.11177220 14.468994 -63.699855
    Oben rechts KachelX + 1 17702 KachelY 23967 0.25272333 -1.11177220 14.479980 -63.699855
    Unten links KachelX 17701 KachelY + 1 23968 0.25253159 -1.11185716 14.468994 -63.704723
    Unten rechts KachelX + 1 17702 KachelY + 1 23968 0.25272333 -1.11185716 14.479980 -63.704723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11177220--1.11185716) × R
    8.49599999999118e-05 × 6371000     		dl = 541.280159999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11177220--1.11185716) × R
    8.49599999999118e-05 × 6371000     		dr = 541.280159999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25253159-0.25272333) × cos(-1.11177220) × R
    0.000191740000000051 × 0.443073462089407 × 6371000     		do = 541.247703711681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25253159-0.25272333) × cos(-1.11185716) × R
    0.000191740000000051 × 0.442997295098646 × 6371000     		du = 541.154659978813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11177220)-sin(-1.11185716))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443073462089407-0.442997295098646)×R²
    abs(0.25272333-0.25253159)×7.61669907600737e-05×R²
    0.000191740000000051×7.61669907600737e-05×6371000²
    0.000191740000000051×7.61669907600737e-05×40589641000000     		ar = 292941.462476886m²