Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 17699 / 51540
↖ ↑ ↗
← S 71.223149°
W 82.776489°		 ← 196.60 m → S 71.223149°
W 82.770996°		 →
↑
196.61 m
↓
↑
196.61 m
↓
S 71.224918°
W 82.776489°		 ← 196.58 m →
38 652 m²		 S 71.224918°
W 82.770996°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.270072937011719 y=0.786445617675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.270072937011719 × 216)
    floor (0.270072937011719 × 65536)
    floor (17699.5)     		tx = 17699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.786445617675781 × 216)
    floor (0.786445617675781 × 65536)
    floor (51540.5)     		ty = 51540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 17699 / 51540 ti = "16/17699/51540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/17699/51540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17699 ÷ 216
    17699 ÷ 65536     		x = 0.270065307617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51540 ÷ 216
    51540 ÷ 65536     		y = 0.78643798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.270065307617188 × 2 - 1) × π
    -0.459869384765625 × 3.1415926535     		Λ = -1.44472228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78643798828125 × 2 - 1) × π
    -0.5728759765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79974295933539
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.44472228} λ = -1.44472228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79974295933539))-π/2
    2×atan(0.165341382218783)-π/2
    2×0.163858935000495-π/2
    0.32771787000099-1.57079632675     		φ = -1.24307846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.44472228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -82.776489°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24307846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.223149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17699 KachelY 51540 -1.44472228 -1.24307846 -82.776489 -71.223149
    Oben rechts KachelX + 1 17700 KachelY 51540 -1.44462641 -1.24307846 -82.770996 -71.223149
    Unten links KachelX 17699 KachelY + 1 51541 -1.44472228 -1.24310932 -82.776489 -71.224918
    Unten rechts KachelX + 1 17700 KachelY + 1 51541 -1.44462641 -1.24310932 -82.770996 -71.224918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24307846--1.24310932) × R
    3.08600000000769e-05 × 6371000     		dl = 196.60906000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24307846--1.24310932) × R
    3.08600000000769e-05 × 6371000     		dr = 196.60906000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.44472228--1.44462641) × cos(-1.24307846) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.321883191794262 × 6371000     		do = 196.602316916495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.44472228--1.44462641) × cos(-1.24310932) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32185397402906 × 6371000     		du = 196.584471062843m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24307846)-sin(-1.24310932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.321883191794262-0.32185397402906)×R²
    abs(-1.44462641--1.44472228)×2.9217765201317e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.9217765201317e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.9217765201317e-05×40589641000000     		ar = 38652.0423977577m²