Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 17698 / 23970
↖ ↑ ↗
← S 63.714454°
E 14.436035°		 ← 541 m → S 63.714454°
E 14.447021°		 →
↑
540.96 m
↓
↑
540.96 m
↓
S 63.719319°
E 14.436035°		 ← 540.90 m →
292 633 m²		 S 63.719319°
E 14.447021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 17698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.540115356445312 y=0.731521606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.540115356445312 × 215)
    floor (0.540115356445312 × 32768)
    floor (17698.5)     		tx = 17698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.731521606445312 × 215)
    floor (0.731521606445312 × 32768)
    floor (23970.5)     		ty = 23970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 17698 / 23970 ti = "15/17698/23970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/17698/23970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 17698 ÷ 215
    17698 ÷ 32768     		x = 0.54010009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23970 ÷ 215
    23970 ÷ 32768     		y = 0.73150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.54010009765625 × 2 - 1) × π
    0.0802001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.25195634
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73150634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4630126953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.45459728207098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.25195634} λ = 0.25195634}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.45459728207098))-π/2
    2×atan(0.233494377341512)-π/2
    2×0.22938465660813-π/2
    0.458769313216259-1.57079632675     		φ = -1.11202701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.25195634} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 14.436035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11202701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -63.714454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 17698 KachelY 23970 0.25195634 -1.11202701 14.436035 -63.714454
    Oben rechts KachelX + 1 17699 KachelY 23970 0.25214809 -1.11202701 14.447021 -63.714454
    Unten links KachelX 17698 KachelY + 1 23971 0.25195634 -1.11211192 14.436035 -63.719319
    Unten rechts KachelX + 1 17699 KachelY + 1 23971 0.25214809 -1.11211192 14.447021 -63.719319
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11202701--1.11211192) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dl = 540.961609999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11202701--1.11211192) × R
    8.49099999999936e-05 × 6371000     		dr = 540.961609999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.25195634-0.25214809) × cos(-1.11202701) × R
    0.000191749999999991 × 0.442845014286618 × 6371000     		do = 540.996851119317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.25195634-0.25214809) × cos(-1.11211192) × R
    0.000191749999999991 × 0.442768882538999 × 6371000     		du = 540.903845588254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11202701)-sin(-1.11211192))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.442845014286618-0.442768882538999)×R²
    abs(0.25214809-0.25195634)×7.61317476191681e-05×R²
    0.000191749999999991×7.61317476191681e-05×6371000²
    0.000191749999999991×7.61317476191681e-05×40589641000000     		ar = 292633.37155153m²